Теория Фредгольма

Пусть $S$ — односторонний сдвиг кратности $1$ на $l^2(\mathbb {N})$; найдите $\sigma_l(S)$ и $\sigma_r(S)$.

Спектром сжатия оператора $A$, $\sigma_c(A)$, называется множество, определённое как $\sigma_c(A) = \left\{ \lambda \in \mathbb {C}: \mathrm{ran}(A - \lambda ) \text{ не плотно в } \mathcal{H}\right\}$. Покажите:

Если $A \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$ и $f \in \mathrm{Hol}(A)$, то $f(\sigma_p(A)) \subseteq \sigma_p(f(A))$. Если $f$ не постоянна ни на одной компоненте своей области определения, то $f(\sigma_p(A)) = \sigma_p(f(A))$.

Если $A \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$ и $f \in \mathrm{Hol}(A)$, то $f(\sigma_{ap}(A)) = \sigma_{ap}(f(A))$.

Если $A \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$ и $\mathrm{ran}\ A$ замкнут, докажите, что $\mathrm{ran}\ A^*$ замкнут, не используя теорему VI.1.10. [Указание: покажите, что существует ограниченный оператор $B$ на $\mathcal{H}$ такой, что $BA =$ проекция $\mathcal{H}$ на $(\mathrm{ker}\ A)^\perp$.]

Теорема 2.3 утверждает, что если $A: \mathcal{H} \to \mathcal{H}'$ — ограниченный оператор, то следующие два утверждения (среди прочих) эквивалентны: (a) $A$ левый полуфредгольмов, то есть существует ограниченный оператор $B: \mathcal{H}' \to \mathcal{H}$ и компактный оператор $K$ на $\mathcal{H}$ такие, что $BA = 1 + K$; (b) $\mathrm{ran}\ A$ замкнут и $\dim \mathrm{ker}\ A < \infty$. Приведите прямое доказательство того, что (b) влечёт (a).

Пусть $A, B, C \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$, и определим $X: \mathcal{H}^{(2)} \to \mathcal{H}^{(2)}$ матрицей

Если $A \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$, покажите, что $A\mathcal{M}$ замкнуто для каждого замкнутого подпространства $\mathcal{M}$ пространства $\mathcal{H}$ тогда и только тогда, когда $A$ имеет конечный ранг или $A$ левый фредгольмов.

Если $\mathscr {X}$ и $\mathscr {Y}$ — банаховы пространства, и $T \in \mathcal{B}(\mathscr {X}, \mathscr {Y})$ таков, что размерность в смысле базиса Гамеля (то есть алгебраическая размерность) пространства $\mathscr {Y}/(\mathrm{ran}\ T)$ конечна, то $\mathrm{ran}\ T$ замкнут.

Покажите, что нормальный оператор является фредгольмовым тогда и только тогда, когда $0$ не является предельной точкой $\sigma (N)$ и $\dim \mathrm{ker}\ N < \infty$. (См. предложение 4.5 ниже.)

Докажите лемму 3.6: пусть $\mathcal{M}$ и $\mathcal{N}$ — два замкнутых подпространства гильбертова пространства $\mathcal{H}$.

Если $A \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$ и $\mathrm{ran}\ A$ замкнут, покажите, что $\mathrm{ran}\ A^{(\infty )}$ замкнут. Если $A \in \mathcal{SF}$ и $\mathrm{ker}\ A = (0)$, покажите, что $A^{(\infty )} \in \mathcal{SF}$ и $\operatorname {ind} A^{(\infty )} = -\infty$ или $0$.

Имеет ли односторонний сдвиг кратности $1$ квадратный корень?

Покажите, что для каждого $n$ из $\mathbb {Z} \cup \left\{ \pm \infty \right\}$ существует оператор $A$ в $\mathcal{SF}$ такой, что $\operatorname {ind} A = n$.

Если $A \in \mathcal{SF}$, то для каждого $n \ge 1$ выполнено $A^n \in \mathcal{SF}$ и $\operatorname {ind} A^n = n(\operatorname {ind} A)$.

Если $A: \mathcal{H} \to \mathcal{H}'$ — левый полуфредгольмов оператор, то существует оператор $F: \mathcal{H} \to \mathcal{H}'$ конечного ранга такой, что $\mathrm{ker}(A + F) = (0)$ и $\operatorname {ind}(A + F) = \operatorname {ind} A$.

Если $A$ — фредгольмов оператор в $\mathcal{B}(\mathcal{H})$, докажите, что следующие утверждения эквивалентны.

1. $\operatorname {ind} A = 0$.

2. Существует компактный оператор $K$ такой, что $A + K$ обратим.

3. Существует оператор $F$ конечного ранга такой, что $A + F$ обратим.

Если $U$ — односторонний сдвиг кратности $1$, а $\pi : \mathcal{B}(\mathcal{H}) \to \mathcal{B}(\mathcal{H})/\mathcal{B}_0(\mathcal{H})$ — естественное отображение, покажите, что $\pi (U)$ нормален в $\mathcal{B}(\mathcal{H})/\mathcal{B}_0(\mathcal{H})$, но не существует нормального оператора $N$ такого, что $U - N$ компактен. (См. упражнение IX.8.14.)

Покажите, что материал этого раздела значим лишь для бесконечномерных гильбертовых пространств, показав, что существенный спектр каждого оператора на $\mathcal{H}$ непуст тогда и только тогда, когда $\mathcal{H}$ бесконечномерно.

Пусть $G$ — ограниченная область в $\mathbb {C}$ такая, что $\partial G = \partial [\mathrm{cl}\ G]$, и пусть $\phi$ — функция, аналитическая в окрестности $\mathrm{cl}\ G$. Определим $A: L_a^2(G) \to L_a^2(G)$ формулой $Af = \phi f$. Найдите все части спектра оператора $A$.

(Fillmore, Stampfli, and Williams [1972].) Если $\lambda \in \sigma_{le}(A)$, то существует проекция $P$ бесконечного ранга такая, что $\pi (A - \lambda )\pi (P) = 0$.

(Fillmore, Stampfli, and Williams [1972].) Пусть $A \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$.

Пусть $A \in \mathcal{F}$, и предположим, что $f$ аналитична в окрестности $\sigma (A)$ и не обращается в нуль на $\sigma_e(A)$. Покажите, что $f(A) \in \mathcal{F}$, и найдите $\operatorname {ind} f(A)$.

Пусть $S$ — односторонний сдвиг, и пусть $f$ — аналитическая функция в окрестности $\mathrm{cl}\ \mathbb {D}$ такая, что $f(z) \ne 0$, если $\left|z\right| = 1$. Пусть $\gamma (t) = f(\exp (2\pi i t))$, $0 \le t \le 1$. Покажите, что $\sigma_e(f(S)) = f(\partial \mathbb {D}) = \left\{ \gamma (t): 0 \le t \le 1\right\}$, и что если $\lambda \notin f(\partial \mathbb {D})$, то $\operatorname {ind}(f(S) - \lambda ) = -n(\gamma ; \lambda )$, где $n(\gamma ; \lambda ) =$ число оборотов $\gamma$ вокруг $\lambda$. Более того, покажите, что если $\operatorname {ind}(f(S) - \lambda ) = 0$, то $\lambda \notin \sigma (f(S))$.

Пусть $S$ — оператор, определённый в примере 2.11, где $G = \mathbb {D}$. Покажите, что существует компактный оператор $K$ такой, что $S + K$ унитарно эквивалентен одностороннему сдвигу.

Если $S$ — односторонний сдвиг, покажите, что для каждого $\varepsilon > 0$ существует оператор ранга один $F$ с $\left\| F\right\| < \varepsilon$ такой, что $\sigma (S^* \oplus S + F) = \partial \mathbb {D}$.

Пусть $G$ — открытое связное подмножество $\sigma (A) \setminus \sigma_{le}(A) \cup \sigma_{re}(A)$, и предположим, что $\lambda_0 \in G$ таково, что $\operatorname {ind}(A - \lambda_0) = 0$. Покажите, что существует оператор $F$ конечного ранга такой, что $A + F - \lambda_0$ обратим. Покажите, что $A + F - \lambda$ обратим для каждого $\lambda$ из $G$.

Пусть $G$ — произвольная топологическая группа, и пусть $G_0$ — компонента единицы. Покажите, что $G_0$ — нормальная подгруппа группы $G$.

Каковы компоненты множества обратимых элементов в $C(\partial \mathbb {D})$?

Если $S =$ односторонний сдвиг, каковы компоненты множества обратимых элементов $C^*(S)$?

Если $U$ и $V$ — изометрии, покажите, что существует путь, состоящий полностью из изометрий, соединяющий $U$ с $V$, тогда и только тогда, когда $\dim (\mathrm{ran}\ U)^\perp = \dim (\mathrm{ran}\ V)^\perp$.

Найдите компоненты множества частичных изометрий.

Если $A$ — обратимый оператор, покажите, что $\gamma (A) = \left\| A^{-1}\right\|^{-1}$.

Пусть $A \in \mathcal{F}$, и предположим, что $\mathrm{ker}\ A \ne (0)$ и $\mathrm{ran}\ A^\perp \ne (0)$. Покажите, что для каждого $\delta > 0$ существует оператор $B$ в $\mathcal{F}$ такой, что $\left\| B - A\right\| < \delta$, $\dim \mathrm{ker}\ B < \dim \mathrm{ker}\ A$, и $\dim \mathrm{ran}\ B^\perp < \dim \mathrm{ran}\ A^\perp$.

Если $A \in \mathcal{SF}$, покажите, что существует $\delta > 0$ такое, что $\dim \mathrm{ker}(A - \mu ) = \dim \mathrm{ker}\ A$ и $\dim \mathrm{ran}(A - \mu )^\perp = \dim \mathrm{ran}\ A^\perp$ для $\left|\mu \right| < \delta$, если $\mathrm{ker}\ A \subseteq \mathrm{ran}\ A^n$ для каждого $n \ge 1$.

Докажите предложение 6.9: если $\lambda$ — изолированная точка $\sigma (A)$, то следующие утверждения эквивалентны.

1. $\lambda \notin \sigma_{le}(A) \cap \sigma_{re}(A)$.

2. Идемпотент Рисса $E(\lambda )$ имеет конечный ранг.

3. $A - \lambda \in \mathcal{F}$ и $\operatorname {ind}(A - \lambda ) = 0$.

Докажите предложение 6.10: если $A \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$, то $\sigma_e(A) = [\sigma_{le}(A) \cap \sigma_{re}(A)] \cup P_{+\infty }(A) \cup P_{-\infty }(A)$, где для $n \in \mathbb {Z} \cup \left\{ \pm \infty \right\}$ положено $P_n(A) \equiv \left\{ \lambda \in \sigma (A): A - \lambda \in \mathcal{SF} \text{ и } \operatorname {ind}(A - \lambda ) = n\right\}$.

Если $\lambda \in \partial P_n(A)$ и $n \ne 0$, покажите, что $\mathrm{ran}(A - \lambda )$ не замкнуто. Что произойдёт, если $n = 0$?

(Stampfli [1974].) Если $A \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$, то существует $K$ из $\mathcal{B}_0(\mathcal{H})$ такое, что $\sigma (A + K) = \sigma_w(A)$.

Докажите предложение 6.13: пусть $K$ — компактное подмножество $\mathbb {C}$, пусть $\left\{ G_n: -\infty \le n \le \infty \right\}$ — непересекающиеся открытые подмножества $K$ (некоторые, возможно, пусты), пусть $D$ — подмножество множества изолированных точек $K$, и для каждого $\lambda$ из $D$ пусть $n_\lambda \in \left\{ 1, 2, \ldots \right\}$. Тогда существует оператор $A$ на $\mathcal{H}$ такой, что $\sigma (A) = K$, $P_n(A) = G_n$ для $0 < \left|n\right| \le \infty$, $P_0(A) = G_0 \cup D$, и $\dim E(\lambda ) = n_\lambda$ для каждого $\lambda$ из $D$.

(Conway [1985].) Если $L$ и $R$ — непустые компактные подмножества $\mathbb {C}$, то существует ограниченный оператор $A$ на $\mathcal{H}$ такой, что $\sigma_l(A) = L$ и $\sigma_r(A) = R$ тогда и только тогда, когда $\partial L \subseteq R$ и $\partial R \subseteq L$.