Компоненты множества $\mathcal{SF}$

Пусть $G$ — произвольная топологическая группа, и пусть $G_0$ — компонента единицы. Покажите, что $G_0$ — нормальная подгруппа группы $G$.

Каковы компоненты множества обратимых элементов в $C(\partial \mathbb {D})$?

Если $S =$ односторонний сдвиг, каковы компоненты множества обратимых элементов $C^*(S)$?

Если $U$ и $V$ — изометрии, покажите, что существует путь, состоящий полностью из изометрий, соединяющий $U$ с $V$, тогда и только тогда, когда $\dim (\mathrm{ran}\ U)^\perp = \dim (\mathrm{ran}\ V)^\perp$.

Найдите компоненты множества частичных изометрий.