Индекс Фредгольма

Докажите лемму 3.6: пусть $\mathcal{M}$ и $\mathcal{N}$ — два замкнутых подпространства гильбертова пространства $\mathcal{H}$.

Если $A \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$ и $\mathrm{ran}\ A$ замкнут, покажите, что $\mathrm{ran}\ A^{(\infty )}$ замкнут. Если $A \in \mathcal{SF}$ и $\mathrm{ker}\ A = (0)$, покажите, что $A^{(\infty )} \in \mathcal{SF}$ и $\operatorname {ind} A^{(\infty )} = -\infty$ или $0$.

Имеет ли односторонний сдвиг кратности $1$ квадратный корень?

Покажите, что для каждого $n$ из $\mathbb {Z} \cup \left\{ \pm \infty \right\}$ существует оператор $A$ в $\mathcal{SF}$ такой, что $\operatorname {ind} A = n$.

Если $A \in \mathcal{SF}$, то для каждого $n \ge 1$ выполнено $A^n \in \mathcal{SF}$ и $\operatorname {ind} A^n = n(\operatorname {ind} A)$.

Если $A: \mathcal{H} \to \mathcal{H}'$ — левый полуфредгольмов оператор, то существует оператор $F: \mathcal{H} \to \mathcal{H}'$ конечного ранга такой, что $\mathrm{ker}(A + F) = (0)$ и $\operatorname {ind}(A + F) = \operatorname {ind} A$.

Если $A$ — фредгольмов оператор в $\mathcal{B}(\mathcal{H})$, докажите, что следующие утверждения эквивалентны.

1. $\operatorname {ind} A = 0$.

2. Существует компактный оператор $K$ такой, что $A + K$ обратим.

3. Существует оператор $F$ конечного ранга такой, что $A + F$ обратим.

Если $U$ — односторонний сдвиг кратности $1$, а $\pi : \mathcal{B}(\mathcal{H}) \to \mathcal{B}(\mathcal{H})/\mathcal{B}_0(\mathcal{H})$ — естественное отображение, покажите, что $\pi (U)$ нормален в $\mathcal{B}(\mathcal{H})/\mathcal{B}_0(\mathcal{H})$, но не существует нормального оператора $N$ такого, что $U - N$ компактен. (См. упражнение IX.8.14.)