Фредгольмовы операторы

Если $A \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$ и $\mathrm{ran}\ A$ замкнут, докажите, что $\mathrm{ran}\ A^*$ замкнут, не используя теорему VI.1.10. [Указание: покажите, что существует ограниченный оператор $B$ на $\mathcal{H}$ такой, что $BA =$ проекция $\mathcal{H}$ на $(\mathrm{ker}\ A)^\perp$.]

Теорема 2.3 утверждает, что если $A: \mathcal{H} \to \mathcal{H}'$ — ограниченный оператор, то следующие два утверждения (среди прочих) эквивалентны: (a) $A$ левый полуфредгольмов, то есть существует ограниченный оператор $B: \mathcal{H}' \to \mathcal{H}$ и компактный оператор $K$ на $\mathcal{H}$ такие, что $BA = 1 + K$; (b) $\mathrm{ran}\ A$ замкнут и $\dim \mathrm{ker}\ A < \infty$. Приведите прямое доказательство того, что (b) влечёт (a).

Пусть $A, B, C \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$, и определим $X: \mathcal{H}^{(2)} \to \mathcal{H}^{(2)}$ матрицей

Если $A \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$, покажите, что $A\mathcal{M}$ замкнуто для каждого замкнутого подпространства $\mathcal{M}$ пространства $\mathcal{H}$ тогда и только тогда, когда $A$ имеет конечный ранг или $A$ левый фредгольмов.

Если $\mathscr {X}$ и $\mathscr {Y}$ — банаховы пространства, и $T \in \mathcal{B}(\mathscr {X}, \mathscr {Y})$ таков, что размерность в смысле базиса Гамеля (то есть алгебраическая размерность) пространства $\mathscr {Y}/(\mathrm{ran}\ T)$ конечна, то $\mathrm{ran}\ T$ замкнут.

Покажите, что нормальный оператор является фредгольмовым тогда и только тогда, когда $0$ не является предельной точкой $\sigma (N)$ и $\dim \mathrm{ker}\ N < \infty$. (См. предложение 4.5 ниже.)