Более тонкий анализ спектра

Если $A$ — обратимый оператор, покажите, что $\gamma (A) = \left\| A^{-1}\right\|^{-1}$.

Пусть $A \in \mathcal{F}$, и предположим, что $\mathrm{ker}\ A \ne (0)$ и $\mathrm{ran}\ A^\perp \ne (0)$. Покажите, что для каждого $\delta > 0$ существует оператор $B$ в $\mathcal{F}$ такой, что $\left\| B - A\right\| < \delta$, $\dim \mathrm{ker}\ B < \dim \mathrm{ker}\ A$, и $\dim \mathrm{ran}\ B^\perp < \dim \mathrm{ran}\ A^\perp$.

Если $A \in \mathcal{SF}$, покажите, что существует $\delta > 0$ такое, что $\dim \mathrm{ker}(A - \mu ) = \dim \mathrm{ker}\ A$ и $\dim \mathrm{ran}(A - \mu )^\perp = \dim \mathrm{ran}\ A^\perp$ для $\left|\mu \right| < \delta$, если $\mathrm{ker}\ A \subseteq \mathrm{ran}\ A^n$ для каждого $n \ge 1$.

Докажите предложение 6.9: если $\lambda$ — изолированная точка $\sigma (A)$, то следующие утверждения эквивалентны.

1. $\lambda \notin \sigma_{le}(A) \cap \sigma_{re}(A)$.

2. Идемпотент Рисса $E(\lambda )$ имеет конечный ранг.

3. $A - \lambda \in \mathcal{F}$ и $\operatorname {ind}(A - \lambda ) = 0$.

Докажите предложение 6.10: если $A \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$, то $\sigma_e(A) = [\sigma_{le}(A) \cap \sigma_{re}(A)] \cup P_{+\infty }(A) \cup P_{-\infty }(A)$, где для $n \in \mathbb {Z} \cup \left\{ \pm \infty \right\}$ положено $P_n(A) \equiv \left\{ \lambda \in \sigma (A): A - \lambda \in \mathcal{SF} \text{ и } \operatorname {ind}(A - \lambda ) = n\right\}$.

Если $\lambda \in \partial P_n(A)$ и $n \ne 0$, покажите, что $\mathrm{ran}(A - \lambda )$ не замкнуто. Что произойдёт, если $n = 0$?

(Stampfli [1974].) Если $A \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$, то существует $K$ из $\mathcal{B}_0(\mathcal{H})$ такое, что $\sigma (A + K) = \sigma_w(A)$.

Докажите предложение 6.13: пусть $K$ — компактное подмножество $\mathbb {C}$, пусть $\left\{ G_n: -\infty \le n \le \infty \right\}$ — непересекающиеся открытые подмножества $K$ (некоторые, возможно, пусты), пусть $D$ — подмножество множества изолированных точек $K$, и для каждого $\lambda$ из $D$ пусть $n_\lambda \in \left\{ 1, 2, \ldots \right\}$. Тогда существует оператор $A$ на $\mathcal{H}$ такой, что $\sigma (A) = K$, $P_n(A) = G_n$ для $0 < \left|n\right| \le \infty$, $P_0(A) = G_0 \cup D$, и $\dim E(\lambda ) = n_\lambda$ для каждого $\lambda$ из $D$.

(Conway [1985].) Если $L$ и $R$ — непустые компактные подмножества $\mathbb {C}$, то существует ограниченный оператор $A$ на $\mathcal{H}$ такой, что $\sigma_l(A) = L$ и $\sigma_r(A) = R$ тогда и только тогда, когда $\partial L \subseteq R$ и $\partial R \subseteq L$.