Существенный спектр

Покажите, что материал этого раздела значим лишь для бесконечномерных гильбертовых пространств, показав, что существенный спектр каждого оператора на $\mathcal{H}$ непуст тогда и только тогда, когда $\mathcal{H}$ бесконечномерно.

Пусть $G$ — ограниченная область в $\mathbb {C}$ такая, что $\partial G = \partial [\mathrm{cl}\ G]$, и пусть $\phi$ — функция, аналитическая в окрестности $\mathrm{cl}\ G$. Определим $A: L_a^2(G) \to L_a^2(G)$ формулой $Af = \phi f$. Найдите все части спектра оператора $A$.

(Fillmore, Stampfli, and Williams [1972].) Если $\lambda \in \sigma_{le}(A)$, то существует проекция $P$ бесконечного ранга такая, что $\pi (A - \lambda )\pi (P) = 0$.

(Fillmore, Stampfli, and Williams [1972].) Пусть $A \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$.

Пусть $A \in \mathcal{F}$, и предположим, что $f$ аналитична в окрестности $\sigma (A)$ и не обращается в нуль на $\sigma_e(A)$. Покажите, что $f(A) \in \mathcal{F}$, и найдите $\operatorname {ind} f(A)$.

Пусть $S$ — односторонний сдвиг, и пусть $f$ — аналитическая функция в окрестности $\mathrm{cl}\ \mathbb {D}$ такая, что $f(z) \ne 0$, если $\left|z\right| = 1$. Пусть $\gamma (t) = f(\exp (2\pi i t))$, $0 \le t \le 1$. Покажите, что $\sigma_e(f(S)) = f(\partial \mathbb {D}) = \left\{ \gamma (t): 0 \le t \le 1\right\}$, и что если $\lambda \notin f(\partial \mathbb {D})$, то $\operatorname {ind}(f(S) - \lambda ) = -n(\gamma ; \lambda )$, где $n(\gamma ; \lambda ) =$ число оборотов $\gamma$ вокруг $\lambda$. Более того, покажите, что если $\operatorname {ind}(f(S) - \lambda ) = 0$, то $\lambda \notin \sigma (f(S))$.

Пусть $S$ — оператор, определённый в примере 2.11, где $G = \mathbb {D}$. Покажите, что существует компактный оператор $K$ такой, что $S + K$ унитарно эквивалентен одностороннему сдвигу.

Если $S$ — односторонний сдвиг, покажите, что для каждого $\varepsilon > 0$ существует оператор ранга один $F$ с $\left\| F\right\| < \varepsilon$ такой, что $\sigma (S^* \oplus S + F) = \partial \mathbb {D}$.

Пусть $G$ — открытое связное подмножество $\sigma (A) \setminus \sigma_{le}(A) \cup \sigma_{re}(A)$, и предположим, что $\lambda_0 \in G$ таково, что $\operatorname {ind}(A - \lambda_0) = 0$. Покажите, что существует оператор $F$ конечного ранга такой, что $A + F - \lambda_0$ обратим. Покажите, что $A + F - \lambda$ обратим для каждого $\lambda$ из $G$.