Банк задач по математике

Задача XI.1.1

Пусть $S$ — односторонний сдвиг кратности $1$ на $l^2(\mathbb {N})$ ; найдите $\sigma_l(S)$ и $\sigma_r(S)$ .

?

Задача XI.1.2

(a)(b)(c)(d)

Спектром сжатия оператора $A$ , $\sigma_c(A)$ , называется множество, определённое как $\sigma_c(A) = \left\{ \lambda \in \mathbb {C}: \mathrm{ran}(A - \lambda ) \text{ не плотно в } \mathcal{H}\right\}$ . Покажите:

?

(a)

$\lambda \in \sigma_c(A)$ тогда и только тогда, когда $\bar{\lambda } \in \sigma_p(A^*)$ .

(b)

$\sigma_c(A) \subseteq \sigma_r(A)$ , но это включение может быть строгим.

(c)

$\sigma_c(A)$ не обязательно замкнуто.

(d)

$\sigma (A) = \sigma_{ap}(A) \cup \sigma_c(A)$ .

Задача XI.1.3

Если $A \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$ и $f \in \mathrm{Hol}(A)$ , то $f(\sigma_p(A)) \subseteq \sigma_p(f(A))$ . Если $f$ не постоянна ни на одной компоненте своей области определения, то $f(\sigma_p(A)) = \sigma_p(f(A))$ .

?

Задача XI.1.4

Если $A \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$ и $f \in \mathrm{Hol}(A)$ , то $f(\sigma_{ap}(A)) = \sigma_{ap}(f(A))$ .

?

Спектр: продолжение