Гильбертовы пространства

Проверьте утверждения, сделанные в примере 1.2: пусть $\mathcal{X}$ — совокупность всех последовательностей $\left\{ \alpha_n : n \geq 1\right\}$ скаляров $\alpha_n$ из $\mathbb {F}$ таких, что $\alpha_n = 0$ для всех, кроме конечного числа значений $n$. Если сложение и умножение на скаляр определены на $\mathcal{X}$ формулами

то $\mathcal{X}$ — векторное пространство над $\mathbb {F}$. Покажите, что если $u(\left\{ \alpha_n\right\} , \left\{ \beta_n\right\} ) \equiv \sum_{n=1}^{\infty } \alpha_{2n} \overline{\beta_{2n}}$, то $u$ — полускалярное произведение, не являющееся скалярным произведением. С другой стороны, покажите, что

все определяют скалярные произведения на $\mathcal{X}$.

Проверьте, что $l^2(I)$ (пример 1.7) — гильбертово пространство: пусть $I$ — произвольное множество, и пусть $l^2(I)$ обозначает множество всех функций $x : I \to \mathbb {F}$ таких, что $x(i) = 0$ для всех, кроме счётного числа $i$, и $\sum_{i \in I} \left|x(i)\right|^2 < \infty$. Для $x$ и $y$ из $l^2(I)$ определим

Покажите, что пространство $\mathcal{H}$ из примера 1.8 — гильбертово пространство: пусть $\mathcal{H}$ — совокупность всех абсолютно непрерывных функций $f : [0,1] \to \mathbb {F}$ таких, что $f(0) = 0$ и $f' \in L^2(0,1)$. Если $\left\langle f, g \right\rangle = \int_0^1 f'(t) \overline{g'(t)} \, dt$ для $f$ и $g$ из $\mathcal{H}$, то $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство.

Опишите гильбертовы пространства, получаемые пополнением пространства $\mathcal{X}$ из примера 1.2 по норме, определяемой каждым из указанных там скалярных произведений.

(Вариация примера 1.8) Пусть $n \geq 2$ и пусть $\mathcal{H}$ — совокупность всех функций $f : [0,1] \to \mathbb {F}$ таких, что (a) $f(0) = 0$; (b) при $1 \leq k \leq n-1$ функция $f^{(k)}(t)$ существует для всех $t$ из $[0,1]$ и $f^{(k)}$ непрерывна на $[0,1]$; (c) $f^{(n-1)}$ абсолютно непрерывна и $f^{(n)} \in L^2(0,1)$. Для $f$ и $g$ из $\mathcal{H}$ определим

Покажите, что $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство.

Пусть $u$ — полускалярное произведение на $\mathcal{X}$, и положим $\mathcal{N} = \left\{ x \in \mathcal{X} : u(x,x) = 0\right\}$.

Пусть $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство над $\mathbb {R}$; покажите, что существует гильбертово пространство $\mathcal{K}$ над $\mathbb {C}$ и отображение $U : \mathcal{H} \to \mathcal{K}$ такие, что (a) $U$ линейно; (b) $\left\langle Uh_1, Uh_2 \right\rangle = \left\langle h_1, h_2 \right\rangle$ для всех $h_1, h_2$ из $\mathcal{H}$; (c) для любого $k$ из $\mathcal{K}$ существуют единственные $h_1, h_2$ из $\mathcal{H}$ такие, что $k = Uh_1 + iUh_2$. ($\mathcal{K}$ называется комплексификацией $\mathcal{H}$.)

Если $G = \left\{ z \in \mathbb {C} : 0 < \left|z\right| < 1\right\}$, покажите, что каждая функция $f$ из $L_a^2(G)$ имеет устранимую особую точку при $z = 0$. (Здесь $L_a^2(G)$ обозначает совокупность всех аналитических функций $f : G \to \mathbb {C}$ таких, что $\iint_G \left|f(x+iy)\right|^2 \, dx \, dy < \infty$; это пространство Бергмана для $G$.)

Какие функции лежат в $L_a^2(\mathbb {C})$?

Пусть $G$ — открытое подмножество $\mathbb {C}$; покажите, что если $a \in G$, то $\left\{ f \in L_a^2(G) : f(a) = 0\right\}$ замкнуто в $L_a^2(G)$.

Если $\left\{ h_n\right\}$ — последовательность в гильбертовом пространстве $\mathcal{H}$ такая, что $\sum_n \left\| h_n\right\| < \infty$, то покажите, что $\sum_{n=1}^{\infty } h_n$ сходится в $\mathcal{H}$.

Пусть $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство, и пусть $f$ и $g$ — линейно независимые векторы в $\mathcal{H}$ с $\left\| f\right\| = \left\| g\right\| = 1$. Покажите, что $\left\| tf + (1-t)g\right\| < 1$ при $0 < t < 1$. Что это говорит о множестве $\left\{ h \in \mathcal{H} : \left\| h\right\| \leq 1\right\}$?

Пусть $\mathcal{M} \leq \mathcal{H}$ — замкнутое линейное подпространство, и пусть $P = P_{\mathcal{M}}$ — ортогональная проекция $\mathcal{H}$ на $\mathcal{M}$ — то есть для $h \in \mathcal{H}$ элемент $Ph$ — единственная точка в $\mathcal{M}$ такая, что $h - Ph \perp \mathcal{M}$. Покажите, что $I - P$ — ортогональная проекция $\mathcal{H}$ на $\mathcal{M}^{\perp }$.

Если $\mathcal{M} \leq \mathcal{H}$, покажите, что $\mathcal{M} \cap \mathcal{M}^{\perp } = (0)$ и каждый элемент $h$ из $\mathcal{H}$ можно записать в виде $h = f + g$, где $f \in \mathcal{M}$ и $g \in \mathcal{M}^{\perp }$. Если $\mathcal{M} + \mathcal{M}^{\perp } \equiv \left\{ (f,g) : f \in \mathcal{M}, \, g \in \mathcal{M}^{\perp }\right\}$ и $T : \mathcal{M} + \mathcal{M}^{\perp } \to \mathcal{H}$ определено формулой $T(f,g) = f + g$, покажите, что $T$ — линейная биекция и гомеоморфизм, если $\mathcal{M} + \mathcal{M}^{\perp }$ наделено топологией произведения. (Обычно это формулируют, говоря, что $\mathcal{M}$ и $\mathcal{M}^{\perp }$ топологически дополнительны в $\mathcal{H}$.)

Если $A \subseteq \mathcal{H}$, пусть $\bigvee A \equiv$ пересечение всех замкнутых линейных подпространств $\mathcal{H}$, содержащих $A$. $\bigvee A$ называется замкнутой линейной оболочкой $A$. Докажите следующее:

Докажите следствие 2.10: если $A \subseteq \mathcal{H}$, то $(A^{\perp })^{\perp }$ — замкнутая линейная оболочка $A$ в $\mathcal{H}$.

Докажите следствие 2.11: если $\mathcal{Y}$ — линейное многообразие в $\mathcal{H}$, то $\mathcal{Y}$ плотно в $\mathcal{H}$ тогда и только тогда, когда $\mathcal{Y}^{\perp } = (0)$.

Докажите предложение 3.3: если $L$ — ограниченный линейный функционал на гильбертовом пространстве $\mathcal{H}$, то

Также $\left|L(h)\right| \leq \left\| L\right\| \left\| h\right\|$ для каждого $h$ из $\mathcal{H}$.

Пусть $\mathcal{H} = l^2(\mathbb {N})$. Если $N \geq 1$ и $L : \mathcal{H} \to \mathbb {F}$ определено формулой $L(\left\{ \alpha_n\right\} ) = \alpha_N$, найдите вектор $h_0$ в $\mathcal{H}$ такой, что $L(h) = \left\langle h, h_0 \right\rangle$ для каждого $h$ из $\mathcal{H}$.

Пусть $\mathcal{H} = l^2(\mathbb {N} \cup \left\{ 0\right\} )$.

С обозначениями предыдущей задачи определим $L : \mathcal{H} \to \mathbb {F}$ формулой $L(\left\{ \alpha_n\right\} ) = \sum_{n=1}^{\infty } n \alpha_n \lambda^{n-1}$, где $\left|\lambda \right| < 1$. Найдите вектор $h_0$ в $\mathcal{H}$ такой, что $L(h) = \left\langle h, h_0 \right\rangle$ для каждого $h$ из $\mathcal{H}$.

Пусть $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство, описанное в примере 1.8 (совокупность всех абсолютно непрерывных функций $f : [0,1] \to \mathbb {F}$ с $f(0) = 0$ и $f' \in L^2(0,1)$, со скалярным произведением $\left\langle f, g \right\rangle = \int_0^1 f'(t)\overline{g'(t)} \, dt$). Если $0 < t \leq 1$, определим $L : \mathcal{H} \to \mathbb {F}$ формулой $L(h) = h(t)$. Покажите, что $L$ — ограниченный линейный функционал, найдите $\left\| L\right\|$ и найдите вектор $h_0$ в $\mathcal{H}$ такой, что $L(h) = \left\langle h, h_0 \right\rangle$ для всех $h$ из $\mathcal{H}$.

Пусть $\mathcal{H} = L^2(0,1)$, и пусть $C^{(1)}$ — множество всех непрерывных функций на $[0,1]$, имеющих непрерывную производную. Пусть $t \in [0,1]$; определим $L : C^{(1)} \to \mathbb {F}$ формулой $L(h) = h'(t)$. Покажите, что не существует ограниченного линейного функционала на $\mathcal{H}$, совпадающего с $L$ на $C^{(1)}$.

Проверьте утверждения примера 4.3: пусть $\mathcal{H} = L_{\mathbb {C}}^2[0, 2\pi ]$, и для $n$ из $\mathbb {Z}$ определим $e_n$ в $\mathcal{H}$ формулой $e_n(t) = (2\pi )^{-1/2} \exp (int)$. Тогда $\left\{ e_n : n \in \mathbb {Z}\right\}$ — ортонормированное множество в $\mathcal{H}$.

Проверьте утверждения примера 4.4: если $\mathcal{H} = \mathbb {F}^d$ и при $1 \leq k \leq d$ элемент $e_k =$ $d$-набор с $1$ на $k$-м месте и нулями на остальных, то $\left\{ e_1, \ldots , e_d\right\}$ — базис в $\mathcal{H}$.

Проверьте утверждения примера 4.5: пусть $\mathcal{H} = l^2(I)$, как в примере 1.7. Для каждого $i$ из $I$ определим $e_i$ в $\mathcal{H}$ формулами $e_i(i) = 1$ и $e_i(j) = 0$ при $j \neq i$. Тогда $\left\{ e_i : i \in I\right\}$ — базис.

Найдите бесконечное ортонормированное множество в гильбертовом пространстве примера 1.8 (совокупность всех абсолютно непрерывных функций $f : [0,1] \to \mathbb {F}$ с $f(0) = 0$ и $f' \in L^2(0,1)$, со скалярным произведением $\left\langle f, g \right\rangle = \int_0^1 f'(t)\overline{g'(t)} \, dt$).

Используя обозначения процесса ортогонализации Грама--Шмидта, покажите, что с точностью до скалярного множителя $e_1 = h_1/\left\| h_1\right\|$ и при $n \geq 2$ $e_n = \left\| h_n - f_n\right\|^{-1}(h_n - f_n)$, где $f_n$ — вектор, формально определённый как

Если последовательность $1, x, x^2, \ldots$ ортогонализуется в $L^2(-1,1)$, получается последовательность $e_n(x) = \left[\frac{1}{2}(2n+1)\right]^{1/2} P_n(x)$, где

Функции $P_n(x)$ называются многочленами Лежандра.

Если последовательность $e^{-x^2/2}, xe^{-x^2/2}, x^2 e^{-x^2/2}, \ldots$ ортогонализуется в $L^2(-\infty , \infty )$, получается последовательность $e_n(x) = [2^n n! \sqrt{\pi }]^{-1/2} H_n(x) e^{-x^2/2}$, где

Функции $H_n$ — многочлены Эрмита, и они удовлетворяют соотношению $H_n'(x) = 2n H_{n-1}(x)$.

Если последовательность $e^{-x/2}, xe^{-x/2}, x^2 e^{-x/2}, \ldots$ ортогонализуется в $L^2(0, \infty )$, получается последовательность $e_n(x) = e^{-x/2} L_n(x)/n!$, где

Функции $L_n$ называются многочленами Лагерра.

Докажите следствие 4.10: если $\mathcal{E}$ — ортонормированное множество и $h \in \mathcal{H}$, то $\sum_{e \in \mathcal{E}} \left| \left\langle h, e \right\rangle \right|^2 \leq \left\| h\right\|^2$, где сумма понимается в смысле определения 4.11 (то есть как предел сети $h_F = \sum \left\{ h_i : i \in F\right\}$, индексированной конечными подмножествами $F$ множества индексов).

Если $\left\{ h_n\right\}$ — последовательность в гильбертовом пространстве и $\sum \left\{ h_n : n \in \mathbb {N}\right\}$ сходится к $h$ (в смысле определения 4.11, то есть как предел сети конечных частичных сумм, индексированной конечными подмножествами), то $\lim_n \sum_{k=1}^{n} h_k = h$. Покажите, что обратное неверно.

Если $\left\{ h_n\right\}$ — последовательность в гильбертовом пространстве и $\sum_{n=1}^{\infty } \left\| h_n\right\| < \infty$, покажите, что $\sum \left\{ h_n : n \in \mathbb {N}\right\}$ сходится в смысле определения 4.11.

Пусть $\left\{ \alpha_n\right\}$ — последовательность в $\mathbb {F}$; докажите, что следующие утверждения эквивалентны:

1. $\sum \left\{ \alpha_n : n \in \mathbb {N}\right\}$ сходится в смысле определения 4.11.

2. Если $\pi$ — произвольная перестановка $\mathbb {N}$, то $\sum_{n=1}^{\infty } \alpha_{\pi (n)}$ сходится (безусловная сходимость).

3. $\sum_{n=1}^{\infty } \left|\alpha_n\right| < \infty$.

Пусть $\mathcal{E}$ — ортонормированное подмножество $\mathcal{H}$, и пусть $\mathcal{M} = \bigvee \mathcal{E}$. Если $P$ — ортогональная проекция $\mathcal{H}$ на $\mathcal{M}$, покажите, что $Ph = \sum \left\{ \left\langle h, e \right\rangle e : e \in \mathcal{E}\right\}$ для каждого $h$ из $\mathcal{H}$.

Пусть $\lambda =$ мера площади на $\left\{ z \in \mathbb {C} : \left|z\right| < 1\right\}$; покажите, что $1, z, z^2, \ldots$ — ортогональные векторы в $L^2(\lambda )$. Найдите $\left\| z^n\right\|$, $n \geq 0$. Если $e_n = \left\| z^n\right\|^{-1} z^n$, $n \geq 0$, будет ли $\left\{ e_0, e_1, \ldots \right\}$ базисом в $L^2(\lambda )$?

Предложение 4.14 утверждает: если $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство, то любые два базиса имеют одинаковую мощность. В доказательстве, пусть $\mathcal{E}$ и $\mathcal{F}$ — два базиса $\mathcal{H}$ с $\varepsilon =$ мощность $\mathcal{E}$ и $\eta =$ мощность $\mathcal{F}$; покажите, что если $\varepsilon$ или $\eta$ конечны, то $\varepsilon = \eta$.

Если $\mathcal{H}$ — бесконечномерное гильбертово пространство, покажите, что ни один ортонормированный базис $\mathcal{H}$ не является базисом Гамеля (максимальным линейно независимым множеством). Покажите, что базис Гамеля несчётен.

Пусть $d \geq 1$, и пусть $\mu$ — регулярная борелевская мера на $\mathbb {R}^{d}$. Покажите, что $L^2(\mu )$ сепарабельно.

Предположим, что $L^2(X, \Omega , \mu )$ сепарабельно и $\left\{ E_i : i \in I\right\}$ — семейство попарно непересекающихся подмножеств $X$, $E_i \in \Omega$ и $0 < \mu (E_i) < \infty$ для всех $i$. Покажите, что $I$ счётно. Можно ли допустить $\mu (E_i) = \infty$?

Если $\left\{ h \in \mathcal{H} : \left\| h\right\| \leq 1\right\}$ компактно, покажите, что $\dim \mathcal{H} < \infty$.

Какова мощность базиса Гамеля для $l^2$?

Проверьте утверждения примера 5.3: определим $S : l^2 \to l^2$ формулой $S(\alpha_1, \alpha_2, \ldots ) = (0, \alpha_1, \alpha_2, \ldots )$. Тогда $S$ — изометрия, не являющаяся сюръективной.

Определим $V : L^2(0, \infty ) \to L^2(0, \infty )$ формулами $(Vf)(t) = f(t-1)$, если $t > 1$, и $(Vf)(t) = 0$, если $t \leq 1$. Покажите, что $V$ — изометрия, не являющаяся сюръективной.

Определим $V : L^2(\mathbb {R}) \to L^2(\mathbb {R})$ формулой $(Vf)(t) = f(t-1)$ и покажите, что $V$ — изоморфизм (унитарный оператор).

Пусть $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство из примера 1.8 (совокупность всех абсолютно непрерывных функций $f : [0,1] \to \mathbb {F}$ с $f(0) = 0$ и $f' \in L^2(0,1)$, со скалярным произведением $\left\langle f, g \right\rangle = \int_0^1 f'(t)\overline{g'(t)} \, dt$); определим $U : \mathcal{H} \to L^2(0,1)$ формулой $Uf = f'$. Покажите, что $U$ — изоморфизм, и найдите формулу для $U^{-1}$.

Пусть $(X, \Omega , \mu )$ — $\sigma$-конечное пространство с мерой, и пусть $u : X \to \mathbb {F}$ — $\Omega$-измеримая функция такая, что $\sup \left\{ \left|u(x)\right| : x \in X\right\} < \infty$. Покажите, что $U : L^2(X, \Omega , \mu ) \to L^2(X, \Omega , \mu )$, определённое формулой $Uf = uf$, — изометрия тогда и только тогда, когда $\left|u(x)\right| = 1$ п.в. $[\mu ]$, и в этом случае $U$ сюръективно.

Пусть $\mathscr {C} = \left\{ f \in C[0, 2\pi ] : f(0) = f(2\pi )\right\}$; покажите, что $\mathscr {C}$ плотно в $L^2[0, 2\pi ]$.

Покажите, что $\left\{ (1/\sqrt{2\pi }), \, (1/\sqrt{\pi }) \cos nt, \, (1/\sqrt{\pi }) \sin nt : 1 \leq n < \infty \right\}$ — базис в $L^2[-\pi , \pi ]$.

Пусть $(X, \Omega )$ — измеримое пространство, и пусть $\mu , \nu$ — две $\sigma$-конечные меры, определённые на $(X, \Omega )$. Предположим, что $\nu \ll \mu$ и $\phi$ — производная Радона--Никодима меры $\nu$ по $\mu$ ($\phi = d\nu /d\mu$). Определим $V : L^2(\nu ) \to L^2(\mu )$ формулой $Vf = \sqrt{\phi } f$. Покажите, что $V$ — корректно определённая линейная изометрия, и что $V$ — изоморфизм тогда и только тогда, когда $\mu \ll \nu$ (то есть $\mu$ и $\nu$ взаимно абсолютно непрерывны).

Если $\mathcal{H}$ и $\mathcal{K}$ — гильбертовы пространства и $U : \mathcal{H} \to \mathcal{K}$ — сюръективная функция такая, что $\left\langle Uf, Ug \right\rangle = \left\langle f, g \right\rangle$ для всех векторов $f$ и $g$ из $\mathcal{H}$, то $U$ линейно.

Пусть $\left\{ (X_i, \Omega_i, \mu_i) : i \in I\right\}$ — семейство пространств с мерой; определим $X$, $\Omega$ и $\mu$ следующим образом. Пусть $X =$ несвязное объединение $\left\{ X_i : i \in I\right\}$, и пусть $\Omega = \left\{ \Delta \subseteq X : \Delta \cap X_i \in \Omega_i \text{ для всех } i\right\}$. Для $\Delta$ из $\Omega$ положим $\mu (\Delta ) = \sum_i \mu_i(\Delta \cap X_i)$. Покажите, что $(X, \Omega , \mu )$ — пространство с мерой и $L^2(X, \Omega , \mu )$ изоморфно $\bigoplus \left\{ L^2(X_i, \Omega_i, \mu_i) : i \in I\right\}$.

Пусть $(X, \Omega )$ — измеримое пространство, пусть $\mu_1, \mu_2$ — $\sigma$-конечные меры, определённые на $(X, \Omega )$, и положим $\mu = \mu_1 + \mu_2$. Покажите, что отображение $V : L^2(X, \Omega , \mu ) \to L^2(X, \Omega , \mu_1) \oplus L^2(X, \Omega , \mu_2)$, определённое формулой $Vf = f_1 \oplus f_2$, где $f_j$ — класс эквивалентности в $L^2(X, \Omega , \mu_j)$, соответствующий $f$, корректно определено, линейно и инъективно. Покажите, что $V$ — изоморфизм тогда и только тогда, когда $\mu_1$ и $\mu_2$ взаимно сингулярны.