Элементарные свойства и примеры

Проверьте утверждения, сделанные в примере 1.2: пусть $\mathcal{X}$ — совокупность всех последовательностей $\left\{ \alpha_n : n \geq 1\right\}$ скаляров $\alpha_n$ из $\mathbb {F}$ таких, что $\alpha_n = 0$ для всех, кроме конечного числа значений $n$. Если сложение и умножение на скаляр определены на $\mathcal{X}$ формулами

то $\mathcal{X}$ — векторное пространство над $\mathbb {F}$. Покажите, что если $u(\left\{ \alpha_n\right\} , \left\{ \beta_n\right\} ) \equiv \sum_{n=1}^{\infty } \alpha_{2n} \overline{\beta_{2n}}$, то $u$ — полускалярное произведение, не являющееся скалярным произведением. С другой стороны, покажите, что

все определяют скалярные произведения на $\mathcal{X}$.

Проверьте, что $l^2(I)$ (пример 1.7) — гильбертово пространство: пусть $I$ — произвольное множество, и пусть $l^2(I)$ обозначает множество всех функций $x : I \to \mathbb {F}$ таких, что $x(i) = 0$ для всех, кроме счётного числа $i$, и $\sum_{i \in I} \left|x(i)\right|^2 < \infty$. Для $x$ и $y$ из $l^2(I)$ определим

Покажите, что пространство $\mathcal{H}$ из примера 1.8 — гильбертово пространство: пусть $\mathcal{H}$ — совокупность всех абсолютно непрерывных функций $f : [0,1] \to \mathbb {F}$ таких, что $f(0) = 0$ и $f' \in L^2(0,1)$. Если $\left\langle f, g \right\rangle = \int_0^1 f'(t) \overline{g'(t)} \, dt$ для $f$ и $g$ из $\mathcal{H}$, то $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство.

Опишите гильбертовы пространства, получаемые пополнением пространства $\mathcal{X}$ из примера 1.2 по норме, определяемой каждым из указанных там скалярных произведений.

(Вариация примера 1.8) Пусть $n \geq 2$ и пусть $\mathcal{H}$ — совокупность всех функций $f : [0,1] \to \mathbb {F}$ таких, что (a) $f(0) = 0$; (b) при $1 \leq k \leq n-1$ функция $f^{(k)}(t)$ существует для всех $t$ из $[0,1]$ и $f^{(k)}$ непрерывна на $[0,1]$; (c) $f^{(n-1)}$ абсолютно непрерывна и $f^{(n)} \in L^2(0,1)$. Для $f$ и $g$ из $\mathcal{H}$ определим

Покажите, что $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство.

Пусть $u$ — полускалярное произведение на $\mathcal{X}$, и положим $\mathcal{N} = \left\{ x \in \mathcal{X} : u(x,x) = 0\right\}$.

Пусть $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство над $\mathbb {R}$; покажите, что существует гильбертово пространство $\mathcal{K}$ над $\mathbb {C}$ и отображение $U : \mathcal{H} \to \mathcal{K}$ такие, что (a) $U$ линейно; (b) $\left\langle Uh_1, Uh_2 \right\rangle = \left\langle h_1, h_2 \right\rangle$ для всех $h_1, h_2$ из $\mathcal{H}$; (c) для любого $k$ из $\mathcal{K}$ существуют единственные $h_1, h_2$ из $\mathcal{H}$ такие, что $k = Uh_1 + iUh_2$. ($\mathcal{K}$ называется комплексификацией $\mathcal{H}$.)

Если $G = \left\{ z \in \mathbb {C} : 0 < \left|z\right| < 1\right\}$, покажите, что каждая функция $f$ из $L_a^2(G)$ имеет устранимую особую точку при $z = 0$. (Здесь $L_a^2(G)$ обозначает совокупность всех аналитических функций $f : G \to \mathbb {C}$ таких, что $\iint_G \left|f(x+iy)\right|^2 \, dx \, dy < \infty$; это пространство Бергмана для $G$.)

Какие функции лежат в $L_a^2(\mathbb {C})$?

Пусть $G$ — открытое подмножество $\mathbb {C}$; покажите, что если $a \in G$, то $\left\{ f \in L_a^2(G) : f(a) = 0\right\}$ замкнуто в $L_a^2(G)$.

Если $\left\{ h_n\right\}$ — последовательность в гильбертовом пространстве $\mathcal{H}$ такая, что $\sum_n \left\| h_n\right\| < \infty$, то покажите, что $\sum_{n=1}^{\infty } h_n$ сходится в $\mathcal{H}$.