Ортогональность

Пусть $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство, и пусть $f$ и $g$ — линейно независимые векторы в $\mathcal{H}$ с $\left\| f\right\| = \left\| g\right\| = 1$. Покажите, что $\left\| tf + (1-t)g\right\| < 1$ при $0 < t < 1$. Что это говорит о множестве $\left\{ h \in \mathcal{H} : \left\| h\right\| \leq 1\right\}$?

Пусть $\mathcal{M} \leq \mathcal{H}$ — замкнутое линейное подпространство, и пусть $P = P_{\mathcal{M}}$ — ортогональная проекция $\mathcal{H}$ на $\mathcal{M}$ — то есть для $h \in \mathcal{H}$ элемент $Ph$ — единственная точка в $\mathcal{M}$ такая, что $h - Ph \perp \mathcal{M}$. Покажите, что $I - P$ — ортогональная проекция $\mathcal{H}$ на $\mathcal{M}^{\perp }$.

Если $\mathcal{M} \leq \mathcal{H}$, покажите, что $\mathcal{M} \cap \mathcal{M}^{\perp } = (0)$ и каждый элемент $h$ из $\mathcal{H}$ можно записать в виде $h = f + g$, где $f \in \mathcal{M}$ и $g \in \mathcal{M}^{\perp }$. Если $\mathcal{M} + \mathcal{M}^{\perp } \equiv \left\{ (f,g) : f \in \mathcal{M}, \, g \in \mathcal{M}^{\perp }\right\}$ и $T : \mathcal{M} + \mathcal{M}^{\perp } \to \mathcal{H}$ определено формулой $T(f,g) = f + g$, покажите, что $T$ — линейная биекция и гомеоморфизм, если $\mathcal{M} + \mathcal{M}^{\perp }$ наделено топологией произведения. (Обычно это формулируют, говоря, что $\mathcal{M}$ и $\mathcal{M}^{\perp }$ топологически дополнительны в $\mathcal{H}$.)

Если $A \subseteq \mathcal{H}$, пусть $\bigvee A \equiv$ пересечение всех замкнутых линейных подпространств $\mathcal{H}$, содержащих $A$. $\bigvee A$ называется замкнутой линейной оболочкой $A$. Докажите следующее:

Докажите следствие 2.10: если $A \subseteq \mathcal{H}$, то $(A^{\perp })^{\perp }$ — замкнутая линейная оболочка $A$ в $\mathcal{H}$.

Докажите следствие 2.11: если $\mathcal{Y}$ — линейное многообразие в $\mathcal{H}$, то $\mathcal{Y}$ плотно в $\mathcal{H}$ тогда и только тогда, когда $\mathcal{Y}^{\perp } = (0)$.