Изоморфные гильбертовы пространства и преобразование Фурье для окружности

Проверьте утверждения примера 5.3: определим $S : l^2 \to l^2$ формулой $S(\alpha_1, \alpha_2, \ldots ) = (0, \alpha_1, \alpha_2, \ldots )$. Тогда $S$ — изометрия, не являющаяся сюръективной.

Определим $V : L^2(0, \infty ) \to L^2(0, \infty )$ формулами $(Vf)(t) = f(t-1)$, если $t > 1$, и $(Vf)(t) = 0$, если $t \leq 1$. Покажите, что $V$ — изометрия, не являющаяся сюръективной.

Определим $V : L^2(\mathbb {R}) \to L^2(\mathbb {R})$ формулой $(Vf)(t) = f(t-1)$ и покажите, что $V$ — изоморфизм (унитарный оператор).

Пусть $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство из примера 1.8 (совокупность всех абсолютно непрерывных функций $f : [0,1] \to \mathbb {F}$ с $f(0) = 0$ и $f' \in L^2(0,1)$, со скалярным произведением $\left\langle f, g \right\rangle = \int_0^1 f'(t)\overline{g'(t)} \, dt$); определим $U : \mathcal{H} \to L^2(0,1)$ формулой $Uf = f'$. Покажите, что $U$ — изоморфизм, и найдите формулу для $U^{-1}$.

Пусть $(X, \Omega , \mu )$ — $\sigma$-конечное пространство с мерой, и пусть $u : X \to \mathbb {F}$ — $\Omega$-измеримая функция такая, что $\sup \left\{ \left|u(x)\right| : x \in X\right\} < \infty$. Покажите, что $U : L^2(X, \Omega , \mu ) \to L^2(X, \Omega , \mu )$, определённое формулой $Uf = uf$, — изометрия тогда и только тогда, когда $\left|u(x)\right| = 1$ п.в. $[\mu ]$, и в этом случае $U$ сюръективно.

Пусть $\mathscr {C} = \left\{ f \in C[0, 2\pi ] : f(0) = f(2\pi )\right\}$; покажите, что $\mathscr {C}$ плотно в $L^2[0, 2\pi ]$.

Покажите, что $\left\{ (1/\sqrt{2\pi }), \, (1/\sqrt{\pi }) \cos nt, \, (1/\sqrt{\pi }) \sin nt : 1 \leq n < \infty \right\}$ — базис в $L^2[-\pi , \pi ]$.

Пусть $(X, \Omega )$ — измеримое пространство, и пусть $\mu , \nu$ — две $\sigma$-конечные меры, определённые на $(X, \Omega )$. Предположим, что $\nu \ll \mu$ и $\phi$ — производная Радона--Никодима меры $\nu$ по $\mu$ ($\phi = d\nu /d\mu$). Определим $V : L^2(\nu ) \to L^2(\mu )$ формулой $Vf = \sqrt{\phi } f$. Покажите, что $V$ — корректно определённая линейная изометрия, и что $V$ — изоморфизм тогда и только тогда, когда $\mu \ll \nu$ (то есть $\mu$ и $\nu$ взаимно абсолютно непрерывны).

Если $\mathcal{H}$ и $\mathcal{K}$ — гильбертовы пространства и $U : \mathcal{H} \to \mathcal{K}$ — сюръективная функция такая, что $\left\langle Uf, Ug \right\rangle = \left\langle f, g \right\rangle$ для всех векторов $f$ и $g$ из $\mathcal{H}$, то $U$ линейно.