Прямая сумма гильбертовых пространств

Пусть $\left\{ (X_i, \Omega_i, \mu_i) : i \in I\right\}$ — семейство пространств с мерой; определим $X$, $\Omega$ и $\mu$ следующим образом. Пусть $X =$ несвязное объединение $\left\{ X_i : i \in I\right\}$, и пусть $\Omega = \left\{ \Delta \subseteq X : \Delta \cap X_i \in \Omega_i \text{ для всех } i\right\}$. Для $\Delta$ из $\Omega$ положим $\mu (\Delta ) = \sum_i \mu_i(\Delta \cap X_i)$. Покажите, что $(X, \Omega , \mu )$ — пространство с мерой и $L^2(X, \Omega , \mu )$ изоморфно $\bigoplus \left\{ L^2(X_i, \Omega_i, \mu_i) : i \in I\right\}$.

Пусть $(X, \Omega )$ — измеримое пространство, пусть $\mu_1, \mu_2$ — $\sigma$-конечные меры, определённые на $(X, \Omega )$, и положим $\mu = \mu_1 + \mu_2$. Покажите, что отображение $V : L^2(X, \Omega , \mu ) \to L^2(X, \Omega , \mu_1) \oplus L^2(X, \Omega , \mu_2)$, определённое формулой $Vf = f_1 \oplus f_2$, где $f_j$ — класс эквивалентности в $L^2(X, \Omega , \mu_j)$, соответствующий $f$, корректно определено, линейно и инъективно. Покажите, что $V$ — изоморфизм тогда и только тогда, когда $\mu_1$ и $\mu_2$ взаимно сингулярны.