Ортонормированные системы векторов и базисы

Проверьте утверждения примера 4.3: пусть $\mathcal{H} = L_{\mathbb {C}}^2[0, 2\pi ]$, и для $n$ из $\mathbb {Z}$ определим $e_n$ в $\mathcal{H}$ формулой $e_n(t) = (2\pi )^{-1/2} \exp (int)$. Тогда $\left\{ e_n : n \in \mathbb {Z}\right\}$ — ортонормированное множество в $\mathcal{H}$.

Проверьте утверждения примера 4.4: если $\mathcal{H} = \mathbb {F}^d$ и при $1 \leq k \leq d$ элемент $e_k =$ $d$-набор с $1$ на $k$-м месте и нулями на остальных, то $\left\{ e_1, \ldots , e_d\right\}$ — базис в $\mathcal{H}$.

Проверьте утверждения примера 4.5: пусть $\mathcal{H} = l^2(I)$, как в примере 1.7. Для каждого $i$ из $I$ определим $e_i$ в $\mathcal{H}$ формулами $e_i(i) = 1$ и $e_i(j) = 0$ при $j \neq i$. Тогда $\left\{ e_i : i \in I\right\}$ — базис.

Найдите бесконечное ортонормированное множество в гильбертовом пространстве примера 1.8 (совокупность всех абсолютно непрерывных функций $f : [0,1] \to \mathbb {F}$ с $f(0) = 0$ и $f' \in L^2(0,1)$, со скалярным произведением $\left\langle f, g \right\rangle = \int_0^1 f'(t)\overline{g'(t)} \, dt$).

Используя обозначения процесса ортогонализации Грама--Шмидта, покажите, что с точностью до скалярного множителя $e_1 = h_1/\left\| h_1\right\|$ и при $n \geq 2$ $e_n = \left\| h_n - f_n\right\|^{-1}(h_n - f_n)$, где $f_n$ — вектор, формально определённый как

Если последовательность $1, x, x^2, \ldots$ ортогонализуется в $L^2(-1,1)$, получается последовательность $e_n(x) = \left[\frac{1}{2}(2n+1)\right]^{1/2} P_n(x)$, где

Функции $P_n(x)$ называются многочленами Лежандра.

Если последовательность $e^{-x^2/2}, xe^{-x^2/2}, x^2 e^{-x^2/2}, \ldots$ ортогонализуется в $L^2(-\infty , \infty )$, получается последовательность $e_n(x) = [2^n n! \sqrt{\pi }]^{-1/2} H_n(x) e^{-x^2/2}$, где

Функции $H_n$ — многочлены Эрмита, и они удовлетворяют соотношению $H_n'(x) = 2n H_{n-1}(x)$.

Если последовательность $e^{-x/2}, xe^{-x/2}, x^2 e^{-x/2}, \ldots$ ортогонализуется в $L^2(0, \infty )$, получается последовательность $e_n(x) = e^{-x/2} L_n(x)/n!$, где

Функции $L_n$ называются многочленами Лагерра.

Докажите следствие 4.10: если $\mathcal{E}$ — ортонормированное множество и $h \in \mathcal{H}$, то $\sum_{e \in \mathcal{E}} \left| \left\langle h, e \right\rangle \right|^2 \leq \left\| h\right\|^2$, где сумма понимается в смысле определения 4.11 (то есть как предел сети $h_F = \sum \left\{ h_i : i \in F\right\}$, индексированной конечными подмножествами $F$ множества индексов).

Если $\left\{ h_n\right\}$ — последовательность в гильбертовом пространстве и $\sum \left\{ h_n : n \in \mathbb {N}\right\}$ сходится к $h$ (в смысле определения 4.11, то есть как предел сети конечных частичных сумм, индексированной конечными подмножествами), то $\lim_n \sum_{k=1}^{n} h_k = h$. Покажите, что обратное неверно.

Если $\left\{ h_n\right\}$ — последовательность в гильбертовом пространстве и $\sum_{n=1}^{\infty } \left\| h_n\right\| < \infty$, покажите, что $\sum \left\{ h_n : n \in \mathbb {N}\right\}$ сходится в смысле определения 4.11.

Пусть $\left\{ \alpha_n\right\}$ — последовательность в $\mathbb {F}$; докажите, что следующие утверждения эквивалентны:

1. $\sum \left\{ \alpha_n : n \in \mathbb {N}\right\}$ сходится в смысле определения 4.11.

2. Если $\pi$ — произвольная перестановка $\mathbb {N}$, то $\sum_{n=1}^{\infty } \alpha_{\pi (n)}$ сходится (безусловная сходимость).

3. $\sum_{n=1}^{\infty } \left|\alpha_n\right| < \infty$.

Пусть $\mathcal{E}$ — ортонормированное подмножество $\mathcal{H}$, и пусть $\mathcal{M} = \bigvee \mathcal{E}$. Если $P$ — ортогональная проекция $\mathcal{H}$ на $\mathcal{M}$, покажите, что $Ph = \sum \left\{ \left\langle h, e \right\rangle e : e \in \mathcal{E}\right\}$ для каждого $h$ из $\mathcal{H}$.

Пусть $\lambda =$ мера площади на $\left\{ z \in \mathbb {C} : \left|z\right| < 1\right\}$; покажите, что $1, z, z^2, \ldots$ — ортогональные векторы в $L^2(\lambda )$. Найдите $\left\| z^n\right\|$, $n \geq 0$. Если $e_n = \left\| z^n\right\|^{-1} z^n$, $n \geq 0$, будет ли $\left\{ e_0, e_1, \ldots \right\}$ базисом в $L^2(\lambda )$?

Предложение 4.14 утверждает: если $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство, то любые два базиса имеют одинаковую мощность. В доказательстве, пусть $\mathcal{E}$ и $\mathcal{F}$ — два базиса $\mathcal{H}$ с $\varepsilon =$ мощность $\mathcal{E}$ и $\eta =$ мощность $\mathcal{F}$; покажите, что если $\varepsilon$ или $\eta$ конечны, то $\varepsilon = \eta$.

Если $\mathcal{H}$ — бесконечномерное гильбертово пространство, покажите, что ни один ортонормированный базис $\mathcal{H}$ не является базисом Гамеля (максимальным линейно независимым множеством). Покажите, что базис Гамеля несчётен.

Пусть $d \geq 1$, и пусть $\mu$ — регулярная борелевская мера на $\mathbb {R}^{d}$. Покажите, что $L^2(\mu )$ сепарабельно.

Предположим, что $L^2(X, \Omega , \mu )$ сепарабельно и $\left\{ E_i : i \in I\right\}$ — семейство попарно непересекающихся подмножеств $X$, $E_i \in \Omega$ и $0 < \mu (E_i) < \infty$ для всех $i$. Покажите, что $I$ счётно. Можно ли допустить $\mu (E_i) = \infty$?

Если $\left\{ h \in \mathcal{H} : \left\| h\right\| \leq 1\right\}$ компактно, покажите, что $\dim \mathcal{H} < \infty$.

Какова мощность базиса Гамеля для $l^2$?