Теорема Рисса о представлении

Докажите предложение 3.3: если $L$ — ограниченный линейный функционал на гильбертовом пространстве $\mathcal{H}$, то

Также $\left|L(h)\right| \leq \left\| L\right\| \left\| h\right\|$ для каждого $h$ из $\mathcal{H}$.

Пусть $\mathcal{H} = l^2(\mathbb {N})$. Если $N \geq 1$ и $L : \mathcal{H} \to \mathbb {F}$ определено формулой $L(\left\{ \alpha_n\right\} ) = \alpha_N$, найдите вектор $h_0$ в $\mathcal{H}$ такой, что $L(h) = \left\langle h, h_0 \right\rangle$ для каждого $h$ из $\mathcal{H}$.

Пусть $\mathcal{H} = l^2(\mathbb {N} \cup \left\{ 0\right\} )$.

С обозначениями предыдущей задачи определим $L : \mathcal{H} \to \mathbb {F}$ формулой $L(\left\{ \alpha_n\right\} ) = \sum_{n=1}^{\infty } n \alpha_n \lambda^{n-1}$, где $\left|\lambda \right| < 1$. Найдите вектор $h_0$ в $\mathcal{H}$ такой, что $L(h) = \left\langle h, h_0 \right\rangle$ для каждого $h$ из $\mathcal{H}$.

Пусть $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство, описанное в примере 1.8 (совокупность всех абсолютно непрерывных функций $f : [0,1] \to \mathbb {F}$ с $f(0) = 0$ и $f' \in L^2(0,1)$, со скалярным произведением $\left\langle f, g \right\rangle = \int_0^1 f'(t)\overline{g'(t)} \, dt$). Если $0 < t \leq 1$, определим $L : \mathcal{H} \to \mathbb {F}$ формулой $L(h) = h(t)$. Покажите, что $L$ — ограниченный линейный функционал, найдите $\left\| L\right\|$ и найдите вектор $h_0$ в $\mathcal{H}$ такой, что $L(h) = \left\langle h, h_0 \right\rangle$ для всех $h$ из $\mathcal{H}$.

Пусть $\mathcal{H} = L^2(0,1)$, и пусть $C^{(1)}$ — множество всех непрерывных функций на $[0,1]$, имеющих непрерывную производную. Пусть $t \in [0,1]$; определим $L : C^{(1)} \to \mathbb {F}$ формулой $L(h) = h'(t)$. Покажите, что не существует ограниченного линейного функционала на $\mathcal{H}$, совпадающего с $L$ на $C^{(1)}$.