Действительный анализ

Докажите, что $(\cos \theta )^{p} \leq \cos (p\theta )$ для $0 \leq \theta \leq \pi /2$ и $0 < p < 1$.

Пусть $f: [0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывно дифференцируема, причём $f(0) = 0$. Докажите, что

Пусть $f(x)$ — вещественнозначная функция, определённая при всех $x \geq 1$, удовлетворяющая условиям $f(1) = 1$ и

Докажите, что

существует и меньше, чем $1 + \frac{\pi }{4}$.

Пусть $f, g: [0,1] \rightarrow [0,\infty )$ — непрерывные функции, удовлетворяющие условию

Докажите, что существует $t \in [0,1]$, для которого $f(t)^{2}+3f(t) = g(t)^{2}+3g(t)$.

Для вещественнозначной функции $f$ на вещественной прямой определим функцию $\Delta f$ равенством $\Delta f(x) = f(x+1)-f(x)$. При $n \geq 2$ определим $\Delta^{n} f$ рекурсивно как $\Delta^{n} f = \Delta (\Delta^{n-1} f)$. Докажите, что $\Delta^{n} f = 0$ тогда и только тогда, когда $f$ имеет вид $f(x) = a_{0}(x)+a_{1}(x)x+\cdots +a_{n-1}(x)x^{n-1}$, где $a_{0}, a_{1}, \ldots , a_{n-1}$ — периодические функции периода 1.

Предположим, что $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ — непостоянная функция такая, что $f(x) \leq f(y)$ всякий раз, когда $x \leq y$. Докажите, что существуют $a \in \mathbb {R}$ и $c > 0$ такие, что $f(a+x)-f(a-x) \geq cx$ для всех $x \in [0,1]$.

Докажите или опровергните (контрпримером) каждое из следующих утверждений:

Докажите, что при всех $x > 0$ выполняется $\sin x > x - \frac{x^{3}}{6}$.

Пусть

Обоснуйте утверждение

где

Предположим, что $f$ — дважды дифференцируемая вещественная функция, такая что $f''(x) > 0$ при всех $x \in [a,b]$. Найдите все числа $c \in [a,b]$, при которых площадь между графиком $y = f(x)$, касательной к графику в точке $(c, f(c))$ и прямыми $x = a$, $x = b$ достигает минимального значения.

Найдите максимальную площадь всех треугольников, вписанных в эллипс с полуосями $a$ и $b$, и опишите треугольники, имеющие максимальную площадь.

Замечание: см. также задачу 2.2.2.

Пусть $f$ — непрерывная вещественнозначная функция на $[0,\infty )$. Пусть $A$ — множество вещественных чисел $a$, представимых в виде $a = \lim_{n \rightarrow \infty } f(x_{n})$ для некоторой последовательности $(x_{n})$ в $[0,\infty )$ такой, что $\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = \infty$. Докажите, что если $A$ содержит два числа $a$ и $b$, то $A$ содержит весь интервал с концами $a$ и $b$.

Покажите, что уравнение

имеет ровно два решения при каждом достаточно малом $\varepsilon > 0$. Пусть $x(\varepsilon )$ — меньшее из них. Покажите, что

Предположим, что $f(x)$ — многочлен с вещественными коэффициентами, а $a$ — вещественное число с $f(a) \neq 0$. Покажите, что существует вещественный многочлен $g(x)$, такой что если определить $p$ равенством $p(x) = f(x)g(x)$, то $p(a) = 1$, $p'(a) = 0$ и $p''(a) = 0$.

Пусть $p(z)$ — непостоянный многочлен с вещественными коэффициентами, такой что для некоторого вещественного числа $a$ выполняется $p(a) \neq 0$, но $p'(a) = p''(a) = 0$. Докажите, что уравнение $p(z) = 0$ имеет невещественный корень.

Пусть $f$ — функция класса $C^{2}$ на вещественной прямой. Предположим, что $f$ ограничена и имеет ограниченную вторую производную. Пусть

Докажите, что

Найдите все пары целых чисел $a$ и $b$, удовлетворяющих $0 < a < b$ и $a^{b} = b^{a}$.

При каких положительных числах $a$ и $b$, с $a > 1$, уравнение $\log_{a} x = x^{b}$ имеет положительное решение относительно $x$?

Какое число больше: $\pi^{3}$ или $3^{\pi }$?

При каких числах $a$ из $(1,\infty )$ верно, что $x^{a} \leq a^{x}$ для всех $x$ из $(1,\infty )$?

Покажите, что положительная постоянная $t$ может удовлетворять

тогда и только тогда, когда $t < e$.

Предположим, что $f(x)$ определена на $[-1,1]$ и что $f'''(x)$ непрерывна. Покажите, что ряд

сходится.

Если $f$ — функция класса $C^{2}$ на открытом интервале, докажите, что

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна. Предположим, что $\mathbb {R}$ содержит счётное бесконечное подмножество $S$, такое что

если $p$ и $q$ не принадлежат $S$. Докажите, что $f$ тождественно равна 0.

Пусть функция $f$ из $[0,1]$ в $[0,1]$ обладает следующими свойствами:

• $f$ класса $C^{1}$;

• $f(0) = f(1) = 0$;

• $f'$ не возрастает (то есть $f$ вогнута).

Докажите, что длина дуги графика $f$ не превосходит 3.

Пусть $f$ — вещественнозначная функция класса $C^{1}$ на $[0,\infty )$, такая что несобственный интеграл $\int_{1}^{\infty } \left|f'(x)\right|\, dx$ сходится. Докажите, что бесконечный ряд $\sum_{n=1}^{\infty } f(n)$ сходится тогда и только тогда, когда сходится интеграл $\int_{1}^{\infty } f(x)\, dx$.

Пусть $E$ — множество всех непрерывных вещественнозначных функций $u: [0,1] \rightarrow \mathbb {R}$, удовлетворяющих

Пусть $\varphi : E \rightarrow \mathbb {R}$ определена как

Покажите, что $\varphi$ достигает своего максимального значения на некотором элементе $E$.

Пусть $S$ — множество всех вещественных функций класса $C^{1}$ $f$ на $[0,1]$, таких что $f(0) = 0$ и

Определим

Покажите, что функция $J$ ограничена на $S$, и вычислите её супремум. Существует ли функция $f_{0} \in S$, на которой $J$ достигает своего максимального значения? Если да, чему равна $f_{0}$?

Пусть $f$ — вещественнозначная непрерывная неотрицательная функция на $[0,1]$, такая что

при $t \in [0,1]$. Покажите, что $f(t) \leq 1+t$ при $t \in [0,1]$.

Предположим, что $\varphi$ — функция класса $C^{1}$ на $\mathbb {R}$, такая что

Докажите или приведите контрпример: $b$ обязательно равно нулю.

Покажите, что

при $0 \leq k < 1$ является возрастающей функцией $k$.

Дано, что

найдите $f'(t)$ в явном виде, где

Определим

Вычислите $F'(0)$.

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ — ненулевая функция класса $C^{\infty }$, такая что $f(x)f(y) = f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)$ для всех $x$ и $y$, и такая что $f(x) \rightarrow 0$ при $\left|x\right| \rightarrow \infty$.

Пусть $S$ — множество непрерывных вещественнозначных функций на $[0,1]$ таких, что $f(x)$ рационально всякий раз, когда $x$ рационально. Докажите, что $S$ несчётно.

Пусть $f$ — ограниченная непрерывная вещественнозначная функция на $\mathbb {R}^{2}$. Определим функцию $g$ на $\mathbb {R}$ формулой

Докажите, что $g$ непрерывна.

Предположим, что $f$ отображает компактный интервал $I$ в себя и что

для всех $x, y \in I$, $x \neq y$. Можно ли заключить, что существует некоторая константа $M < 1$ такая, что для всех $x, y \in I$

Пусть вещественнозначная функция $f$ на $[0,1]$ обладает следующими двумя свойствами:

• Если $[a,b] \subset [0,1]$, то $f([a,b])$ содержит интервал с концами $f(a)$ и $f(b)$ (то есть $f$ обладает свойством промежуточного значения).

• Для каждого $c \in \mathbb {R}$ множество $f^{-1}(c)$ замкнуто.

Докажите, что $f$ непрерывна.

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ равномерно непрерывна и $f(0) = 0$. Докажите: существует положительное число $B$ такое, что $\left|f(x)\right| \leq 1+B\left|x\right|$ для всех $x$.

Предположим, что $f$ — непрерывная функция на $\mathbb {R}$, периодическая с периодом 1, т.е. $f(x+1) = f(x)$. Покажите:

Пусть $h: [0,1) \rightarrow \mathbb {R}$ — функция, определённая на полуоткрытом интервале $[0,1)$. Докажите, что если $h$ равномерно непрерывна, то существует единственная непрерывная функция $g: [0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ такая, что $g(x) = h(x)$ для всех $x \in [0,1)$.

Пусть $f$ — непрерывная вещественнозначная функция на $[0,\infty )$ такая, что $\lim_{x \rightarrow \infty } f(x)$ существует (конечен). Докажите, что $f$ равномерно непрерывна.

Докажите или опровергните контрпримером: если функция $f$ из $\mathbb {R}$ в $\mathbb {R}$ имеет и левый, и правый предел в каждой точке $\mathbb {R}$, то множество точек разрыва $f$ не более чем счётно.

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ удовлетворяет $f(x) \leq f(y)$ при $x \leq y$. Докажите, что множество точек, в которых $f$ не является непрерывной, конечно или счётно бесконечно.

Функция $f: [0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ называется полунепрерывной сверху, если для заданных $x \in [0,1]$ и $\varepsilon > 0$ существует $\delta > 0$ такое, что если $\left|y-x\right| < \delta$, то $f(y) < f(x)+\varepsilon$. Докажите, что полунепрерывная сверху функция $f$ на $[0,1]$ ограничена сверху и достигает своего максимального значения в некоторой точке $p \in [0,1]$.

Докажите, что непрерывная функция из $\mathbb {R}$ в $\mathbb {R}$, отображающая открытые множества в открытые множества, должна быть монотонной.

Пусть $f$ — непрерывная функция из $\mathbb {R}$ в $\mathbb {R}$ такая, что $\left|f(x)-f(y)\right| \geq \left|x-y\right|$ для всех $x$ и $y$. Докажите, что множество значений $f$ есть всё $\mathbb {R}$.

Замечание: см. также задачу 2.1.8.

Пусть $f$ — непрерывная функция на $[0,1]$. Вычислите следующие пределы.

Пусть $f$ — функция из $[0,1]$ в себя, график которой

является замкнутым подмножеством единичного квадрата. Докажите, что $f$ непрерывна.

Замечание: см. также задачу 2.1.2.

Пусть $f$ — непрерывная вещественнозначная функция, заданная на $[0,1] \times [0,1]$. Пусть функция $g$ на $[0,1]$ определена как

Докажите, что $g$ непрерывна.

Пусть функция $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ ограничена на ограниченных множествах и обладает свойством, что $f^{-1}(K)$ замкнуто, если $K$ компактно. Докажите, что $f$ непрерывна.

Пусть $A_{1} \geq A_{2} \geq \cdots \geq A_{k} \geq 0$. Вычислите

Замечание: см. также задачу 5.1.11.

Вычислите

Пусть $x_{0} = 1$ и

Докажите, что $x_{\infty } = \lim_{n \rightarrow \infty } x_{n}$ существует, и найдите его значение.

Определим последовательность вещественных чисел $(x_{n})$ формулой

Покажите, что $(x_{n})$ сходится, и вычислите её предел.

Пусть $\alpha$ — число из $(0,1)$. Докажите, что любая последовательность $(x_{n})$ вещественных чисел, удовлетворяющая рекуррентному соотношению

имеет предел, и найдите выражение для предела через $\alpha$, $x_{0}$ и $x_{1}$.

Пусть $k$ — положительное целое число. Определите те вещественные числа $c$, для которых каждая последовательность $(x_{n})$ вещественных чисел, удовлетворяющая рекуррентному соотношению

имеет период $k$ (т.е. $x_{n+k} = x_{n}$ для всех $n$).

Пусть $a$ — положительное вещественное число. Определим последовательность $(x_{n})$ формулой

Найдите необходимое и достаточное условие на $a$, при котором существует конечный предел $\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n}$.

Пусть $x_{n}$ — последовательность вещественных чисел такая, что

Покажите, что $\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = x$.

Пусть $a$ и $x_{0}$ — положительные числа, и определим последовательность $(x_{n})_{n=1}^{\infty }$ рекуррентно как

Докажите, что эта последовательность сходится, и найдите её предел.

Пусть $x_{1}$ — вещественное число, $0 < x_{1} < 1$, и определим последовательность как $x_{n+1} = x_{n}-x_{n}^{n+1}$. Покажите, что $\liminf_{n \rightarrow \infty } x_{n} > 0$.

Пусть $f(x) = \frac{1}{4}+x-x^{2}$. Для любого вещественного числа $x$ определим последовательность $(x_{n})$ формулой $x_{0} = x$ и $x_{n+1} = f(x_{n})$. Если последовательность сходится, обозначим её предел через $x_{\infty }$.

Числа Фибоначчи $f_{1}, f_{2}, \ldots$ определяются рекуррентно как $f_{1} = 1$, $f_{2} = 2$, и $f_{n+1} = f_{n}+f_{n-1}$ при $n \geq 2$. Покажите, что

существует, и вычислите этот предел.

Замечание: см. также задачу 7.5.20.

Докажите, что

Для $n$ — положительного целого числа, пусть $H_{n}$ обозначает $n$-ю частичную сумму гармонического ряда

Пусть $k > 1$ — целое число. Докажите, что

где $\log k$ — натуральный логарифм $k$, а $C$ — некоторая константа.

Предположим, $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots$ — последовательность неотрицательных вещественных чисел, удовлетворяющая

для всех $n \geq 1$. Докажите, что $\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n}$ существует.

Пусть $(a_{n})$ и $(\varepsilon_{n})$ — последовательности положительных чисел. Предположим, что $\lim_{n \rightarrow \infty } \varepsilon_{n} = 0$ и что существует число $k$ из $(0,1)$ такое, что $a_{n+1} \leq ka_{n}+\varepsilon_{n}$ для каждого $n$. Докажите, что $\lim_{n \rightarrow \infty } a_{n} = 0$.

Докажите или опровергните (приведя контрпример) следующее утверждение: у всякой бесконечной последовательности $x_{1}, x_{2}, \ldots$ вещественных чисел есть либо неубывающая подпоследовательность, либо невозрастающая подпоследовательность.

Пусть $b_{1}, b_{2}, \ldots$ — положительные вещественные числа с

Предположим также, что $b_{1} < b_{2} < b_{3} < \cdots$. Покажите, что множество отношений $(b_{m}/b_{n})_{1 \leq n < m}$ плотно в $(1,\infty )$.

Какие из следующих рядов сходятся?

Пусть $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ — положительные числа.

Для каждого $(a,b,c) \in \mathbb {R}^{3}$ рассмотрим ряд

Определите значения $(a,b,c)$, при которых ряд

При каких вещественных числах $x$ сходится бесконечный ряд

При каких значениях вещественного числа $a$ ряд

сходится?

Пусть $A$ — множество положительных целых чисел, в десятичной записи которых не встречается цифра 9. Докажите, что

то есть $A$ задаёт сходящийся подряд гармонического ряда.

Пусть $a_{1}, a_{2}, \ldots$ — положительные числа такие, что

Докажите, что существуют положительные числа $c_{1}, c_{2}, \ldots$ такие, что

Вычислите предел

Наметьте доказательство, исходя из основных свойств вещественных чисел, следующей теоремы: пусть $f: [a,b] \rightarrow \mathbb {R}$ — непрерывная функция такая, что $f'(x) = 0$ для всех $x \in (a,b)$. Тогда $f(b) = f(a)$.

Пусть $f(x) = x\log (1+x^{-1})$, $0 < x < \infty$.

Пусть $f(x)$, $0 \leq x < \infty$, непрерывна, дифференцируема, $f(0) = 0$, и $f'(x)$ — возрастающая функция от $x$ при $x \geq 0$. Докажите, что

является возрастающей функцией от $x$.

Пусть $y: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ — функция класса $C^{\infty }$, удовлетворяющая дифференциальному уравнению