Последовательности, ряды и произведения

Пусть $A_{1} \geq A_{2} \geq \cdots \geq A_{k} \geq 0$. Вычислите

Замечание: см. также задачу 5.1.11.

Вычислите

Пусть $x_{0} = 1$ и

Докажите, что $x_{\infty } = \lim_{n \rightarrow \infty } x_{n}$ существует, и найдите его значение.

Определим последовательность вещественных чисел $(x_{n})$ формулой

Покажите, что $(x_{n})$ сходится, и вычислите её предел.

Пусть $\alpha$ — число из $(0,1)$. Докажите, что любая последовательность $(x_{n})$ вещественных чисел, удовлетворяющая рекуррентному соотношению

имеет предел, и найдите выражение для предела через $\alpha$, $x_{0}$ и $x_{1}$.

Пусть $k$ — положительное целое число. Определите те вещественные числа $c$, для которых каждая последовательность $(x_{n})$ вещественных чисел, удовлетворяющая рекуррентному соотношению

имеет период $k$ (т.е. $x_{n+k} = x_{n}$ для всех $n$).

Пусть $a$ — положительное вещественное число. Определим последовательность $(x_{n})$ формулой

Найдите необходимое и достаточное условие на $a$, при котором существует конечный предел $\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n}$.

Пусть $x_{n}$ — последовательность вещественных чисел такая, что

Покажите, что $\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = x$.

Пусть $a$ и $x_{0}$ — положительные числа, и определим последовательность $(x_{n})_{n=1}^{\infty }$ рекуррентно как

Докажите, что эта последовательность сходится, и найдите её предел.

Пусть $x_{1}$ — вещественное число, $0 < x_{1} < 1$, и определим последовательность как $x_{n+1} = x_{n}-x_{n}^{n+1}$. Покажите, что $\liminf_{n \rightarrow \infty } x_{n} > 0$.

Пусть $f(x) = \frac{1}{4}+x-x^{2}$. Для любого вещественного числа $x$ определим последовательность $(x_{n})$ формулой $x_{0} = x$ и $x_{n+1} = f(x_{n})$. Если последовательность сходится, обозначим её предел через $x_{\infty }$.

Числа Фибоначчи $f_{1}, f_{2}, \ldots$ определяются рекуррентно как $f_{1} = 1$, $f_{2} = 2$, и $f_{n+1} = f_{n}+f_{n-1}$ при $n \geq 2$. Покажите, что

существует, и вычислите этот предел.

Замечание: см. также задачу 7.5.20.

Докажите, что

Для $n$ — положительного целого числа, пусть $H_{n}$ обозначает $n$-ю частичную сумму гармонического ряда

Пусть $k > 1$ — целое число. Докажите, что

где $\log k$ — натуральный логарифм $k$, а $C$ — некоторая константа.

Предположим, $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots$ — последовательность неотрицательных вещественных чисел, удовлетворяющая

для всех $n \geq 1$. Докажите, что $\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n}$ существует.

Пусть $(a_{n})$ и $(\varepsilon_{n})$ — последовательности положительных чисел. Предположим, что $\lim_{n \rightarrow \infty } \varepsilon_{n} = 0$ и что существует число $k$ из $(0,1)$ такое, что $a_{n+1} \leq ka_{n}+\varepsilon_{n}$ для каждого $n$. Докажите, что $\lim_{n \rightarrow \infty } a_{n} = 0$.

Докажите или опровергните (приведя контрпример) следующее утверждение: у всякой бесконечной последовательности $x_{1}, x_{2}, \ldots$ вещественных чисел есть либо неубывающая подпоследовательность, либо невозрастающая подпоследовательность.

Пусть $b_{1}, b_{2}, \ldots$ — положительные вещественные числа с

Предположим также, что $b_{1} < b_{2} < b_{3} < \cdots$. Покажите, что множество отношений $(b_{m}/b_{n})_{1 \leq n < m}$ плотно в $(1,\infty )$.

Какие из следующих рядов сходятся?

Пусть $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ — положительные числа.

Для каждого $(a,b,c) \in \mathbb {R}^{3}$ рассмотрим ряд

Определите значения $(a,b,c)$, при которых ряд

При каких вещественных числах $x$ сходится бесконечный ряд

При каких значениях вещественного числа $a$ ряд

сходится?

Пусть $A$ — множество положительных целых чисел, в десятичной записи которых не встречается цифра 9. Докажите, что

то есть $A$ задаёт сходящийся подряд гармонического ряда.

Пусть $a_{1}, a_{2}, \ldots$ — положительные числа такие, что

Докажите, что существуют положительные числа $c_{1}, c_{2}, \ldots$ такие, что

Вычислите предел