Последовательности функций

Докажите или приведите контрпример: если $f$ — неубывающая вещественнозначная функция на $[0,1]$, то существует последовательность непрерывных функций на $[0,1]$, $(f_{n})$, такая что для каждого $x \in [0,1]$

Пусть $f_{n} : \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ дифференцируема для каждого $n = 1,2,\ldots$, причём $\left|f_{n}'(x)\right| \leq 1$ для всех $n$ и $x$. Предположим

для всех $x$. Докажите, что $g : \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна.

Предположим, что $(f_{n})$ — последовательность неубывающих функций, отображающих единичный интервал в себя. Предположим, что

поточечно, и что $f$ — непрерывная функция. Докажите, что $f_{n}(x) \rightarrow f(x)$ равномерно при $n \rightarrow \infty$, $0 \leq x \leq 1$. Заметьте, что функции $f_{n}$ не обязательно непрерывны.

Пусть $f$ и $f_{n}$, $n = 1,2,\ldots$, — функции из $\mathbb {R}$ в $\mathbb {R}$. Предположим, что $f_{n}(x_{n}) \rightarrow f(x)$ при $n \rightarrow \infty$, когда бы ни $x_{n} \rightarrow x$. Покажите, что $f$ непрерывна. Замечание: функции $f_{n}$ не предполагаются непрерывными.

Предположим, что последовательность функций $f_{n} : \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ равномерно сходится на $\mathbb {R}$ к функции $f : \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, и что $c_{n} = \lim_{x \rightarrow \infty } f_{n}(x)$ существует для каждого положительного целого $n$. Докажите, что $\lim_{n \rightarrow \infty } c_{n}$ и $\lim_{x \rightarrow \infty } f(x)$ оба существуют и равны.

Покажите, что если $f$ — гомеоморфизм $[0,1]$ на себя, то существует последовательность $(p_{n})$, $n = 1,2,3,\ldots$, многочленов, таких что $p_{n} \rightarrow f$ равномерно на $[0,1]$ и каждый $p_{n}$ является гомеоморфизмом $[0,1]$ на себя.

Пусть $f_{n} : [0,1] \rightarrow [0,\infty )$ — непрерывная функция при $n = 1,2,\ldots$. Предположим, что

Пусть $f(x) = \lim_{n \rightarrow \infty } f_{n}(x)$ и $M = \sup_{0 \leq x \leq 1} f(x)$.

Пусть $f_{1}, f_{2}, \ldots$ — непрерывные функции на $[0,1]$, удовлетворяющие $f_{1} \geq f_{2} \geq \cdots$, и такие что $\lim_{n \rightarrow \infty } f_{n}(x) = 0$ для каждого $x$. Должна ли последовательность $(f_{n})$ сходиться к $0$ равномерно на $[0,1]$?

Пусть $k \geq 0$ — целое число, и определим последовательность отображений

При каких значениях $k$ последовательность сходится равномерно на $\mathbb {R}$? На каждом ограниченном подмножестве $\mathbb {R}$?

Пусть $f : [0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна и $k \in \mathbb {N}$. Докажите, что существует вещественный многочлен $P(x)$ степени $\leq k$, минимизирующий (среди всех таких многочленов)

Пусть $(P_{n})$ — последовательность вещественных многочленов степени $\leq D$, где $D$ — фиксированное целое число. Предположим, что $P_{n}(x) \rightarrow 0$ поточечно при $0 \leq x \leq 1$. Докажите, что $P_{n} \rightarrow 0$ равномерно на $[0,1]$.

Пусть $f$ — вещественнозначная непрерывная функция на компактном отрезке $[a,b]$. Для заданного $\varepsilon > 0$ покажите, что существует многочлен $p$, такой что $p(a) = f(a)$, $p'(a) = 0$, и $\left|p(x)-f(x)\right| < \varepsilon$ для $x \in [a,b]$.

Для каждого натурального $n$ определим $f_{n} : \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ формулой $f_{n}(x) = \cos nx$. Докажите, что последовательность функций $(f_{n})$ не имеет равномерно сходящейся подпоследовательности.

Пусть $C_{[0,1]}$ обозначает пространство непрерывных функций на $[0,1]$. Определим

Теорема Арцела́--Асколи утверждает, что последовательность $(f_{n})$ непрерывных вещественнозначных функций на метрическом пространстве $\Omega$ предкомпактна (т.е. имеет равномерно сходящуюся подпоследовательность), если

1. $\Omega$ компактно,

2. $\sup \left\| f_{n}\right\| < \infty$ (где $\left\| f_{n}\right\| = \sup \left\{ \left|f_{n}(x)\right| \mid x \in \Omega \right\}$),

3. последовательность равностепенно непрерывна. Приведите примеры последовательностей, не являющихся предкомпактными, такие что: выполнены (i) и (ii), но не выполнено (iii); выполнены (i) и (iii), но не выполнено (ii); выполнены (ii) и (iii), но не выполнено (i). Возьмите $\Omega$ в качестве подмножества вещественной прямой. Изобразите график типичного члена последовательности в каждом случае.

Пусть функции $f_{n} : [0,1] \rightarrow [0,1]$ ($n = 1,2,\ldots$) удовлетворяют условию $\left|f_{n}(x)-f_{n}(y)\right| \leq \left|x-y\right|$ всякий раз, когда $\left|x-y\right| \geq 1/n$. Докажите, что последовательность $(f_{n})_{n=1}^{\infty }$ имеет равномерно сходящуюся подпоследовательность.

Пусть $(f_{n})$ — последовательность вещественнозначных функций класса $C^{1}$ на $[0,1]$, таких что при всех $n$

Докажите, что последовательность имеет подпоследовательность, равномерно сходящуюся на $[0,1]$.

Пусть $M$ — множество вещественнозначных непрерывных функций $f$ на $[0,1]$, таких что $f'$ непрерывна на $[0,1]$, с нормой

Какие подмножества $M$ компактны?

Пусть $(a_{n})$ — последовательность ненулевых вещественных чисел. Докажите, что последовательность функций $f_{n} : \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$

имеет подпоследовательность, сходящуюся к непрерывной функции.

Пусть $(f_{n})$ — последовательность непрерывных функций из $[0,1]$ в $\mathbb {R}$. Предположим, что $f_{n}(x) \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$ для каждого $x \in [0,1]$, а также что для некоторой константы $K$ выполняется

для всех $n$. Верно ли, что

Пусть $(g_{n})$ — последовательность дважды дифференцируемых функций на $[0,1]$, таких что $g_{n}(0) = g_{n}'(0) = 0$ для всех $n$. Предположим также, что $\left|g_{n}''(x)\right| \leq 1$ для всех $n$ и всех $x \in [0,1]$. Докажите, что существует подпоследовательность $(g_{n})$, равномерно сходящаяся на $[0,1]$.

Пусть $K$ — непрерывная вещественнозначная функция, определённая на $[0,1] \times [0,1]$. Пусть $F$ — семейство функций $f$ на $[0,1]$ вида

где $g$ — вещественнозначная непрерывная функция на $[0,1]$, удовлетворяющая условию $\left|g\right| \leq 1$ всюду. Докажите, что семейство $F$ равностепенно непрерывно.

Пусть $(g_{n})$ — последовательность интегрируемых по Риману функций из $[0,1]$ в $\mathbb {R}$, таких что $\left|g_{n}(x)\right| \leq 1$ для всех $n$, $x$. Определим

Докажите, что некоторая подпоследовательность $(G_{n})$ сходится равномерно.

Пусть $(f_{n})$ — последовательность непрерывных вещественных функций, определённых на $[0,1]$, таких что

для всех $n$. Определим $g_{n} : [0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ формулой

Пусть $(f_{n})$ — последовательность непрерывных функций, определённых из $[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$, таких что

Пусть $K : [0,1] \times [0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна. Определим $g_{n} : [0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ формулой

Докажите, что последовательность $(g_{n})$ сходится равномерно.

Пусть $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots , \varphi_{n}, \ldots$ — неотрицательные непрерывные функции на $[0,1]$, такие что предел

существует для каждого $k = 0,1,\ldots$. Покажите, что предел

существует для каждой непрерывной функции $f$ на $[0,1]$.

Пусть $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots , \lambda_{n}, \ldots$ — вещественные числа. Покажите, что бесконечный ряд

сходится равномерно на $\mathbb {R}$ к непрерывной предельной функции $f : \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C}$. Покажите далее, что предел

существует.

Определим функцию $\zeta$ формулой

Докажите, что $\zeta (x)$ определена и имеет непрерывные производные всех порядков на интервале $1 < x < \infty$.

Пусть $f$ — непрерывная вещественнозначная функция на $\mathbb {R}$. Для $n \in \mathbb {N}$ определим

Докажите, что $f_{n}(x)$ сходится равномерно к некоторому пределу на каждом конечном интервале $[a,b]$.

Пусть $f$ — непрерывная вещественнозначная функция на $\mathbb {R}$, удовлетворяющая условию

где $C$ — положительная константа. Определим функцию $F$ на $\mathbb {R}$ формулой

Покажите, что для любой непрерывной функции $f : [0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ и $\varepsilon > 0$ найдётся функция вида

для некоторого $n \in \mathbb {Z}$, где $C_{0}, \ldots , C_{n} \in \mathbb {Q}$ и $\left|g(x)-f(x)\right| < \varepsilon$ для всех $x$ в $[0,1]$.