Интегральное исчисление

Пусть $f$ — вещественная функция на $[a,b]$. Предположим, что $f$ дифференцируема и что $f'$ интегрируема по Риману. Докажите, что

Используя свойства интеграла Римана, покажите, что если $f$ — неотрицательная непрерывная функция на $[0,1]$, и $\int_{0}^{1} f(x)\, dx = 0$, то $f(x) = 0$ для всех $x \in [0,1]$.

Предположим, что $f$ — непрерывная вещественнозначная функция. Покажите, что

для некоторого $\xi \in [0,1]$.

Предположим, что $f$ — вещественнозначная функция одной вещественной переменной, такая что

существует для всех $c \in [a,b]$. Покажите, что $f$ интегрируема по Риману на $[a,b]$.

Пусть $f: [0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ интегрируема по Риману на $[b,1]$ для всех $b$, таких что $0 < b \leq 1$.

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна, причём

Покажите, что существует последовательность $(x_{n})$, такая что $x_{n} \rightarrow \infty$, $x_{n}f(x_{n}) \rightarrow 0$ и $x_{n}f(-x_{n}) \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$.

Пусть

при $x > 0$.

Пусть $\varphi (s)$ — функция класса $C^{2}$ на $[1,2]$, причём $\varphi$ и $\varphi '$ обращаются в нуль при $s = 1, 2$. Докажите, что существует константа $C > 0$, такая что для любого $\lambda > 1$

Пусть дано $0 \leq a \leq 1$. Найдите все неотрицательные непрерывные функции $f$ на $[0,1]$, удовлетворяющие следующим трём условиям:

1. $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x)\, dx = 1,$

2. $\displaystyle \int_{0}^{1} xf(x)\, dx = a,$

3. $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{2}f(x)\, dx = a^{2}.$

Пусть $f$ — дифференцируемая функция на $[0,1]$, и пусть

Пусть $n$ — положительное целое число. Докажите, что

Пусть $f: [0,\infty ) \rightarrow \mathbb {R}$ — равномерно непрерывная функция, обладающая тем свойством, что

существует (как конечный предел). Покажите, что

Пусть $f$ — вещественнозначная непрерывная функция на $[0,\infty )$, такая что

существует. Докажите, что

Пусть $f: \mathbb {R}^{+} \rightarrow \mathbb {R}^{+}$ — монотонно убывающая функция, определённая на положительных вещественных числах, причём

Покажите, что

Пусть $f$ — непрерывная вещественнозначная функция, удовлетворяющая $f(x) \geq 0$ для всех $x$, и

Докажите, что

при $n \rightarrow \infty$.

Вычислите интеграл

с точностью до двух десятичных знаков; то есть найдите число $I^{*}$, такое что $\left|I-I^{*}\right| < 0.005$.

Покажите, что следующий предел существует и конечен:

Пусть $f$ и $f'$ непрерывны на $[0,\infty )$, и $f(x) = 0$ при $x \geq 10^{10}$. Покажите, что

Пусть $f$ — непрерывная, строго возрастающая функция из $[0,\infty )$ на $[0,\infty )$, и пусть $g = f^{-1}$. Докажите, что

для всех положительных чисел $a$ и $b$, и определите условие для равенства.

Пусть $f$ — непрерывная вещественнозначная функция на $\mathbb {R}$, такая что несобственный интеграл Римана $\int_{-\infty }^{\infty } \left|f(x)\right|\, dx$ сходится. Определим функцию $g$ на $\mathbb {R}$ формулой

Докажите, что $g$ непрерывна.

Пусть $f$ и $g$ — непрерывные вещественнозначные функции на $\mathbb {R}$, такие что $\lim_{\left|x\right| \rightarrow \infty } f(x) = 0$ и $\int_{-\infty }^{\infty } \left|g(x)\right|\, dx < \infty$. Определим функцию $h$ на $\mathbb {R}$ формулой

Докажите, что $\lim_{\left|x\right| \rightarrow \infty } h(x) = 0$.

Докажите, что интегралы

сходятся.

Пусть $f(x)$, $0 \leq x \leq 1$, — вещественнозначная непрерывная функция. Покажите, что

Вычислите

где $a > 0$ — константа.

Покажите, что

сходится как несобственный интеграл Римана. Вычислите $I$.

Докажите, что $\displaystyle \int_{0}^{\infty } \frac{\sin x}{\sqrt{x}}\, dx$ сходится как несобственный интеграл Римана, но что $\displaystyle \int_{0}^{\infty } \frac{\left|\sin x\right|}{\sqrt{x}}\, dx = \infty$.