1.8

Выпуклые функции

[3/100%]
Показать
LaTeX
Задача 1.8.1

Пусть f:[0,1]→Rf : [0,1] \rightarrow \mathbb {R} непрерывна и f(0)=0f(0) = 0. Покажите, что существует непрерывная вогнутая функция g:[0,1]→Rg : [0,1] \rightarrow \mathbb {R}, такая что g(0)=0g(0) = 0 и g(x)≥f(x)g(x) \geq f(x) для всех x∈[0,1]x \in [0,1].

?
Примечание.
?

Функция g:I→Rg : I \rightarrow \mathbb {R} вогнута, если

g(tx+(1−t)y)≥tg(x)+(1−t)g(y) g(tx+(1-t)y) \geq tg(x)+(1-t)g(y)

для всех xx и yy из II и 0≤t≤10 \leq t \leq 1.

Задача 1.8.2

Пусть f:I→Rf : I \rightarrow \mathbb {R} (где II — интервал в R\mathbb {R}) такова, что f(x)>0f(x) > 0, x∈Ix \in I. Предположим, что ecxf(x)e^{cx}f(x) выпукла на II для каждого вещественного числа cc. Покажите, что log⁡f(x)\log f(x) выпукла на II.

?
Примечание.
?

Функция g:I→Rg : I \rightarrow \mathbb {R} выпукла, если

g(tx+(1−t)y)≤tg(x)+(1−t)g(y) g(tx+(1-t)y) \leq tg(x)+(1-t)g(y)

для всех xx и yy из II и 0≤t≤10 \leq t \leq 1.

Задача 1.8.3

Пусть ff — непрерывная вещественнозначная функция на R\mathbb {R}, удовлетворяющая приведённому ниже неравенству о среднем значении:

f(x)≤12h∫x−hx+hf(y) dy,x∈R,h>0. f(x) \leq \frac{1}{2h} \int _{x-h}^{x+h} f(y)\, dy, \quad x \in \mathbb {R}, \quad h > 0.

Докажите:

  1. Максимум ff на любом замкнутом интервале достигается на одном из концов.

  2. ff выпукла.

?