Дифференциальное исчисление

Наметьте доказательство, исходя из основных свойств вещественных чисел, следующей теоремы: пусть $f: [a,b] \rightarrow \mathbb {R}$ — непрерывная функция такая, что $f'(x) = 0$ для всех $x \in (a,b)$. Тогда $f(b) = f(a)$.

Пусть $f(x) = x\log (1+x^{-1})$, $0 < x < \infty$.

Пусть $f(x)$, $0 \leq x < \infty$, непрерывна, дифференцируема, $f(0) = 0$, и $f'(x)$ — возрастающая функция от $x$ при $x \geq 0$. Докажите, что

является возрастающей функцией от $x$.

Пусть $y: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ — функция класса $C^{\infty }$, удовлетворяющая дифференциальному уравнению

при $x \in [0,L]$, где $L$ — положительное вещественное число. Предположим, что $y(0) = y(L) = 0$. Докажите, что $y \equiv 0$ на $[0,L]$.

Пусть $u(x)$, $0 \leq x \leq 1$, — вещественнозначная функция класса $C^{2}$, удовлетворяющая дифференциальному уравнению

Пусть $K$ — вещественная константа. Предположим, что $y(t)$ — положительная дифференцируемая функция, удовлетворяющая $y'(t) \leq Ky(t)$ при $t \geq 0$. Докажите, что $y(t) \leq e^{Kt}y(0)$ при $t \geq 0$.

Предположим, $f$ — дифференцируемая функция из вещественных чисел в вещественные. Предположим, $f'(x) > f(x)$ для всех $x \in \mathbb {R}$, и $f(x_{0}) = 0$. Докажите, что $f(x) > 0$ для всех $x > x_{0}$.

Предположим, что $f$ — дважды дифференцируемая вещественнозначная функция на $\mathbb {R}$ такая, что $f(0) = 0$, $f'(0) > 0$, и $f''(x) \geq f(x)$ для всех $x \geq 0$. Докажите, что $f(x) > 0$ для всех $x > 0$.

Покажите, что уравнение $ae^{x} = 1+x+x^{2}/2$, где $a$ — положительная константа, имеет ровно один вещественный корень.

Предположим, $f: [0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна, $f(0) = 0$, и при $0 < x < 1$ функция $f$ дифференцируема, причём $0 \leq f'(x) \leq 2f(x)$. Докажите, что $f$ тождественно равна 0.

Пусть $f: [0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ — непрерывная функция, причём $f(0) = f(1) = 0$. Предположим, что $f''$ существует при $0 < x < 1$, причём $f''+2f'+f \geq 0$. Покажите, что $f(x) \leq 0$ для всех $0 \leq x \leq 1$.

Пусть $v_{1}$ и $v_{2}$ — две вещественнозначные непрерывные функции на $\mathbb {R}$, такие что $v_{1}(x) < v_{2}(x)$ для всех $x \in \mathbb {R}$. Пусть $\varphi_{1}(t)$ и $\varphi_{2}(t)$ — соответственно решения дифференциальных уравнений

при $a < t < b$. Если $\varphi_{1}(t_{0}) = \varphi_{2}(t_{0})$ для некоторого $t_{0} \in (a,b)$, покажите, что $\varphi_{1}(t) \leq \varphi_{2}(t)$ для всех $t \in (t_{0}, b)$.

Докажите или приведите контрпример: если $f$ и $g$ — вещественнозначные функции класса $C^{1}$ на $(0,1)$, если

если $g$ и $g'$ нигде не обращаются в нуль, и если

то

Пусть $f$ — вещественнозначная дифференцируемая функция на $(-1,1)$, такая что $f(x)/x^{2}$ имеет конечный предел при $x \rightarrow 0$. Следует ли отсюда, что $f''(0)$ существует? Дайте доказательство или контрпример.

Пусть $f$ — бесконечно дифференцируемая функция из $\mathbb {R}$ в $\mathbb {R}$. Предположим, что для некоторого положительного целого $n$

Докажите, что $f^{(n+1)}(x) = 0$ для некоторого $x$ из $(0,1)$.

Пусть $f$ — положительная функция класса $C^{2}$ на $(0,\infty )$, такая что $f' \leq 0$ и $f''$ ограничена. Докажите, что $\lim_{t \rightarrow \infty } f'(t) = 0$.

Пусть $f$ — положительная дифференцируемая функция на $(0,\infty )$. Докажите, что

существует (конечен) и отличен от нуля для каждого $x$.

Предположим, что $f(x)$, $-\infty < x < \infty$, — непрерывная вещественнозначная функция, что $f'(x)$ существует при $x \neq 0$, и что $\lim_{x \rightarrow 0} f'(x)$ существует. Докажите, что $f'(0)$ существует.

Для каждого вещественного значения параметра $t$ определите число вещественных корней, с учётом кратности, кубического многочлена $p_{t}(x) = (1+t^{2})x^{3}-3t^{3}x+t^{4}$.

Пусть вещественнозначная функция $f$ определена на открытом интервале, содержащем точку $a$ числовой прямой, и дифференцируема в точке $a$. Докажите, что если $(x_{n})$ — возрастающая последовательность, а $(y_{n})$ — убывающая последовательность из области определения $f$, и обе последовательности сходятся к $a$, то

Пусть $f$ — непрерывная вещественнозначная функция на $[0,1]$, такая что для каждого $x_{0} \in [0,1)$

Докажите, что $f$ не убывает.

Пусть $I$ — открытый интервал в $\mathbb {R}$, содержащий ноль. Предположим, что $f'$ существует в окрестности нуля и $f''(0)$ существует. Покажите, что

($o(x^{2})$ обозначает величину, такую что $\frac{o(x^{2})}{x^{2}} \rightarrow 0$ при $x \rightarrow 0$).

Докажите, что коэффициенты Тейлора в начале координат функции

являются рациональными числами.

Приведите пример функции $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, обладающей всеми тремя следующими свойствами:

• $f(x) = 0$ при $x < 0$ и $x > 2$,

• $f'(1) = 1$,

• $f$ имеет производные всех порядков.

Докажите, что если $n$ — положительное целое число, а $\alpha , \varepsilon$ — вещественные числа с $\varepsilon > 0$, то существует вещественная функция $f$ с производными всех порядков, такая что

1. $\left|f^{(k)}(x)\right| \leq \varepsilon$ при $k = 0, 1, \ldots , n-1$ и всех $x \in \mathbb {R}$,

2. $f^{(k)}(0) = 0$ при $k = 0, 1, \ldots , n-1$,

3. $f^{(n)}(0) = \alpha$.

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывно дифференцируема, периодична с периодом 1 и неотрицательна. Покажите, что

равномерно по $x$.

Пусть $I \subset \mathbb {R}$ — открытый интервал от 0 до 1. Пусть $f: I \rightarrow \mathbb {C}$ имеет класс $C^{1}$ (т.е. вещественная и мнимая части непрерывно дифференцируемы). Предположим, что $f(t) \rightarrow 0$, $f'(t) \rightarrow C \neq 0$ при $t \rightarrow 0+$. Покажите, что функция $g(t) = \left|f(t)\right|$ имеет класс $C^{1}$ при достаточно малых $t > 0$ и что $\lim_{t \rightarrow 0+} g'(t)$ существует, и найдите этот предел.

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ — функция класса $C^{\infty }$. Предположим, что $f(x)$ имеет локальный минимум при $x = 0$. Докажите, что существует диск с центром на оси $y$, который лежит выше графика $f$ и касается графика в точке $(0, f(0))$.