1.7

Ряды Фурье

[8/100%]
Показать
LaTeX
Задача 1.7.1

Пусть f:R→Rf : \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} — единственная функция, такая что f(x)=xf(x) = x при −π≤x<π-\pi \leq x < \pi и f(x+2nπ)=f(x)f(x+2n\pi ) = f(x) для всех n∈Zn \in \mathbb {Z}.

?
(1)

Докажите, что ряд Фурье функции ff имеет вид

∑n=1∞(−1)n+12sin⁡nxn. \sum _{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n+1}2\sin nx}{n}.
(2)

Докажите, что этот ряд не сходится равномерно.

(3)

Для каждого x∈Rx \in \mathbb {R} найдите сумму ряда.

Задача 1.7.2

Пусть f:R→Rf : \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} — функция с периодом 2π2\pi, такая что f(x)=x3f(x) = x^{3} при −π≤x<π-\pi \leq x < \pi.

?
(1)

Докажите, что ряд Фурье функции ff имеет вид ∑1∞bnsin⁡nx\sum_{1}^{\infty } b_{n}\sin nx, и запишите интегральную формулу для bnb_{n} (не вычисляя её).

(2)

Докажите, что ряд Фурье сходится при всех xx.

(3)

Докажите, что

∑n=1∞bn2=2π67. \sum _{n=1}^{\infty } b_{n}^{2} = \frac{2\pi ^{6}}{7}.
Задача 1.7.3

Пусть f:[0,π]→Rf : [0,\pi ] \rightarrow \mathbb {R} непрерывна и такова, что

∫0πf(x)sin⁡nx dx=0 \int _{0}^{\pi } f(x)\sin nx\, dx = 0

для всех целых n≥1n \geq 1. Тождественно ли ff равна 00?

?
Задача 1.7.4

Пусть ff — непрерывная вещественнозначная функция на R\mathbb {R}, такая что

f(x)=f(x+1)=f(x+2) f(x) = f(x+1) = f\left(x+\sqrt{2}\right)

для всех xx. Докажите, что ff постоянна.

?
Задача 1.7.5

Существует ли непрерывная вещественнозначная функция f(x)f(x), 0≤x≤10 \leq x \leq 1, такая что

∫01xf(x) dx=1и∫01xnf(x) dx=0 \int _{0}^{1} xf(x)\, dx = 1 \quad \text{и} \quad \int _{0}^{1} x^{n}f(x)\, dx = 0

при n=0,2,3,4,…n = 0,2,3,4,\ldots? Приведите пример или докажите, что такой ff не существует.

?
Задача 1.7.6

Пусть gg — 2π2\pi-периодическая, непрерывная на [−π,π][-\pi ,\pi ] функция с рядом Фурье

a02+∑n=1∞(ancos⁡nx+bnsin⁡nx). \frac{a_{0}}{2}+\sum _{n=1}^{\infty } (a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx).

Пусть ff — 2π2\pi-периодическая функция, удовлетворяющая дифференциальному уравнению

f′′(x)+kf(x)=g(x) f''(x)+kf(x) = g(x)

где k≠n2k \neq n^{2}, n=1,2,3,…n = 1,2,3,\ldots. Найдите ряд Фурье функции ff и докажите, что он сходится всюду.

?
Задача 1.7.7

Пусть ff — дважды дифференцируемая вещественнозначная функция на [0,2π][0,2\pi ], такая что ∫02πf(x) dx=0=f(2π)−f(0)\int_{0}^{2\pi } f(x)\, dx = 0 = f(2\pi )-f(0). Покажите, что

∫02π(f(x))2 dx≤∫02π(f′(x))2 dx. \int _{0}^{2\pi } (f(x))^{2}\, dx \leq \int _{0}^{2\pi } (f'(x))^{2}\, dx.
?
Задача 1.7.8

Пусть ff и gg — непрерывные функции на R\mathbb {R}, такие что f(x+1)=f(x)f(x+1) = f(x), g(x+1)=g(x)g(x+1) = g(x) для всех x∈Rx \in \mathbb {R}. Докажите, что

lim⁡n→∞∫01f(x)g(nx) dx=∫01f(x) dx∫01g(x) dx. \lim _{n \rightarrow \infty } \int _{0}^{1} f(x)g(nx)\, dx = \int _{0}^{1} f(x)\, dx \int _{0}^{1} g(x)\, dx.
?