Пределы и непрерывность

Пусть $f$ — ограниченная непрерывная вещественнозначная функция на $\mathbb {R}^{2}$. Определим функцию $g$ на $\mathbb {R}$ формулой

Докажите, что $g$ непрерывна.

Предположим, что $f$ отображает компактный интервал $I$ в себя и что

для всех $x, y \in I$, $x \neq y$. Можно ли заключить, что существует некоторая константа $M < 1$ такая, что для всех $x, y \in I$

Пусть вещественнозначная функция $f$ на $[0,1]$ обладает следующими двумя свойствами:

• Если $[a,b] \subset [0,1]$, то $f([a,b])$ содержит интервал с концами $f(a)$ и $f(b)$ (то есть $f$ обладает свойством промежуточного значения).

• Для каждого $c \in \mathbb {R}$ множество $f^{-1}(c)$ замкнуто.

Докажите, что $f$ непрерывна.

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ равномерно непрерывна и $f(0) = 0$. Докажите: существует положительное число $B$ такое, что $\left|f(x)\right| \leq 1+B\left|x\right|$ для всех $x$.

Предположим, что $f$ — непрерывная функция на $\mathbb {R}$, периодическая с периодом 1, т.е. $f(x+1) = f(x)$. Покажите:

Пусть $h: [0,1) \rightarrow \mathbb {R}$ — функция, определённая на полуоткрытом интервале $[0,1)$. Докажите, что если $h$ равномерно непрерывна, то существует единственная непрерывная функция $g: [0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ такая, что $g(x) = h(x)$ для всех $x \in [0,1)$.

Пусть $f$ — непрерывная вещественнозначная функция на $[0,\infty )$ такая, что $\lim_{x \rightarrow \infty } f(x)$ существует (конечен). Докажите, что $f$ равномерно непрерывна.

Докажите или опровергните контрпримером: если функция $f$ из $\mathbb {R}$ в $\mathbb {R}$ имеет и левый, и правый предел в каждой точке $\mathbb {R}$, то множество точек разрыва $f$ не более чем счётно.

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ удовлетворяет $f(x) \leq f(y)$ при $x \leq y$. Докажите, что множество точек, в которых $f$ не является непрерывной, конечно или счётно бесконечно.

Функция $f: [0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ называется полунепрерывной сверху, если для заданных $x \in [0,1]$ и $\varepsilon > 0$ существует $\delta > 0$ такое, что если $\left|y-x\right| < \delta$, то $f(y) < f(x)+\varepsilon$. Докажите, что полунепрерывная сверху функция $f$ на $[0,1]$ ограничена сверху и достигает своего максимального значения в некоторой точке $p \in [0,1]$.

Докажите, что непрерывная функция из $\mathbb {R}$ в $\mathbb {R}$, отображающая открытые множества в открытые множества, должна быть монотонной.

Пусть $f$ — непрерывная функция из $\mathbb {R}$ в $\mathbb {R}$ такая, что $\left|f(x)-f(y)\right| \geq \left|x-y\right|$ для всех $x$ и $y$. Докажите, что множество значений $f$ есть всё $\mathbb {R}$.

Замечание: см. также задачу 2.1.8.

Пусть $f$ — непрерывная функция на $[0,1]$. Вычислите следующие пределы.

Пусть $f$ — функция из $[0,1]$ в себя, график которой

является замкнутым подмножеством единичного квадрата. Докажите, что $f$ непрерывна.

Замечание: см. также задачу 2.1.2.

Пусть $f$ — непрерывная вещественнозначная функция, заданная на $[0,1] \times [0,1]$. Пусть функция $g$ на $[0,1]$ определена как

Докажите, что $g$ непрерывна.

Пусть функция $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ ограничена на ограниченных множествах и обладает свойством, что $f^{-1}(K)$ замкнуто, если $K$ компактно. Докажите, что $f$ непрерывна.