Линейные пространства

Обозначим через $E_{i j}$ матрицу размеров $m \times n$, у которой элемент на пересечении $i$-й строки и $j$-го столбца равен 1 , а остальные элементы равны нулю. Убедитесь, что эти тn матриц образуют базис в линейном пространстве матриц размеров $m \times n$. (Этот базис называется стандартным базисом данного пространства.) Каковы координаты матрицы $A$ с элементами $a_{i j}$ в стандартном базисе?

Докажите, что верхние треугольные матрицы порядка $n$ образуют линейное пространство по отношению к обычным операциям с матрицами. Найдите размерность этого пространства и какой-нибудь базис в нем.

В линейном пространстве многочленов степени $\leqslant 3$ от переменной $t$ заданы два базиса: $1, t, t^{2}, t^{3}$ и $1, t-a,(t-a)^{2}$, $(t-a)^{3}$. Найдите матрицу перехода от первого базиса ко второму и с ее помощью разложение многочлена $p(t)$ по второму базису.

Как расположены друг относительно друга два базиса $e_{1}, \ldots , e_{n}$ и $f_{1}, \ldots , f_{n}$, если матрица перехода от $\mathbf{e} \kappa$ — верхняя треугольная? Докажите из этих соображений, что обратная к верхней треугольной матрице — также верхняя треугольная.

Как ориентированы друг относительно друга два базиса, если $f_{1}=e_{1}+e_{2} ; f_{2}=e_{2}+e_{3} ; f_{3}=e_{3}+e_{4} ; f_{4}=e_{4}-e_{1}$ ?

В линейном пространстве $\mathcal{L}$ заданы векторы $a_{1}, a_{2}$ и $a_{3}$ с координатными столбцами

в базисе $e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}$. Найдите базис их линейной оболочки $\mathcal{L}^{\prime }$.

Найдите систему уравнений, задающую подпространство $\mathcal{L}^{\prime }$ из задачи 1.

Найдите какое-нибудь подпространство $\mathcal{M}^{\prime }$, которое вместе с подпространством $\mathcal{L}^{\prime }$ из задачи 1 удовлетворяет условию $\mathcal{L}=\mathcal{L}^{\prime } \oplus \mathcal{M}^{\prime }$.

Подпространство $\mathcal{L}^{\prime }$ определено в задаче 1, подпространство $\mathcal{L}^{\prime \prime }$ натянуто на векторы $b_{1}$ и $b_{2}$ с координатами 1, 1, 1, 2 u 2, 2, 2, 5. Найдите

В четырехмерном пространстве заданы

Все квадратные матрицы порядка 2 умножаются справа на матрицу

Этим определено отображение А пространства матриц порядка 2 в пространство матриц размеров 2 × 3.

Какому условию должна удовлетворять матрица $C$ размеров 2 × 3, для того чтобы отображение A, определенное в задаче 1, было инъективным? Может ли оно быть сюръективным?

Пусть $\mathcal{C}^{k}$ — линейное пространство функций, имеющих $k>1$ непрерывных производных на отрезке $[0,1]$. Дифференцирование отображает $\mathcal{C}^{k}$ в $\mathcal{C}^{k-1}$. Проверьте, что это линейное отображение. Будет ли оно

Пусть $\mathrm{A}: \mathcal{L} \rightarrow \overline{\mathcal{L}}$ и $\mathcal{M}=\mathrm{A}(\mathcal{L})$. Определим отображение $\mathrm{A}^{\prime }: \mathcal{L} \rightarrow \mathcal{M}$ равенством $\mathrm{A}^{\prime }(x)=\mathrm{A}(x)$. Докажите, что

Пусть $\mathcal{L}=\mathcal{L}_{1} \oplus \mathcal{L}_{2}$ и $x=x_{1}+x_{2}, x_{1} \in \mathcal{L}_{1}, x_{2} \in \mathcal{L}_{2}$. Oпределим преобразования $\mathrm{P}_{1}$ и $\mathrm{P}_{2}$ пространства $\mathcal{L}$ формулами: $\mathrm{P}_{1}(x)=x_{1}$ и $\mathrm{P}_{2}(x)=x_{2}$ (такие преобразования называются проектированиями). Докажите, что

где O - нулевое, а E - тождественное преобразования.

Для любого линейного отображения $\mathrm{A}: \mathcal{L} \rightarrow \overline{\mathcal{L}}$ найдутся такие базисы в $\mathcal{L}$ и $\overline{\mathcal{L}}$, что $A$ будет иметь матрицу

( $E_{r}$ — единичная подматрица порядка $r$, остальные элементы, если они есть, равны нулю.) Докажите эту теорему, приводя матрицу линейного отображения элементарными преобразованиями строк и столбцов к виду (4).

Пусть А - линейное отображение. Верно ли, что

Докажите, что ранг произведения отображений не превосходит рангов этих отображений. (Это будет еще одним доказательством оценки ранга произведения матриц из § 3 гл. V.)

Пусть В инъективно. Докажите, что для любого A выполнено $\mathrm{RgBA}=\mathrm{RgA}$.

Докажите, что каждое подпространство $\mathcal{L}^{\prime }$, лежащее в $\operatorname {Ker} \mathrm{A}$, и каждое подпространство $\mathcal{L}^{\prime \prime }$, содержащее $\operatorname {Im} \mathrm{A}$, инвариантны относительно A.

Докажите, что сумма и пересечение инвариантных подпространств инвариантны.

Пусть А - линейное преобразование вещественного пространства, $\lambda$ — комплексный корень его характеристического многочлена, $p=(\lambda +\bar{\lambda }) / 2$ и $q=\lambda \bar{\lambda }$. Докажите, что размерность подпространства $\mathcal{L}^{\prime }=\operatorname {Ker}\left(\mathrm{A}^{2}-p A+q E\right)$ — четное число.

Пусть А: $\mathcal{L} \rightarrow \mathcal{L}$. Докажите, что $\mathcal{L}=\operatorname {Ker} \mathrm{A} \oplus \operatorname {Im} \mathrm{A}$ тогда и только тогда, когда $\operatorname {Ker} \mathrm{A}^{2}=\operatorname {Ker} \mathrm{A}$.

Пусть $\mathcal{L}=\operatorname {Ker} \mathrm{A} \oplus \operatorname {Im} \mathrm{A}$. Какой вид имеет матрица преобразования А в базисе e, если $e_{1}, \ldots , e_{r} \in \operatorname {Im} \mathrm{~ A}$, а $e_{r+1}, \ldots \ldots , e_{n} \in \operatorname {Ker} A$ ?

В некотором базисе преобразование задано матрицей

Существует ли базис, в котором его матрица диагональная? Если да, то найдите этот базис.

Haüдите собственные значения и собственные подпространства преобразования, заданного матрицей

Каждой квадратной матрице порядка п ставится в соответствие ее транспонированная матрица. Этим определено преобразование T пространства матриц. Найдите его собственные значения и собственные подпространства. Докажите из этих соображений, что каждая матрица однозначно представляется как сумма симметричной и кососимметричной.

Пусть А - поворот трехмерного векторного пространства вокруг некоторой оси на угол $\alpha$ и $A$ — матрица этого поворота в некотором базисе. Выразите $\alpha$ через элементы $A$.

Пусть А диагонализуемо. Докажите, что ограничение А на любом инвариантном подпространстве также диагонализуемо.

Преобразование А задано матрицей

Найдите матрицу перехода к какому-нибудь базису, в котором его матрица верхняя треугольная, а также матрицу преобразования в этом базисе.

Пусть матрица А невырождена. Представьте матрицу $A^{-1}$ как многочлен от $A$.

Пусть преобразование А удовлетворяет соотношению $\mathrm{A}^{2}=\mathrm{A}$. Докажите, что $\mathrm{Rg} \mathrm{A}=\operatorname {tr} \mathrm{A}$.

Пусть в некотором базисе $n$-мерного пространства $\mathcal{L}$ линейное преобразование А задано матрицей $A, a(n-1)$-мерное подпространство $\mathcal{L}^{\prime }$ — уравнением $\mathbf{u}^{T} \mathbf{x}=0$. Докажите, что $\mathcal{L}^{\prime }$ инвариантно относительно А тогда и только тогда, когда существует такой множитель $\lambda$, что $A^{T} \mathbf{u}=\lambda \mathbf{u}$.

Может ли для линейной функции на линейном пространстве $\mathcal{L}$ для всех $x \in \mathcal{L}$ выполняться неравенство

Пусть $\vec{a}$ — фиксированный вектор плоскости. Поставим в соответствие каждому вектору $\vec{x}$ площадь ориентированного параллелограмма, построенного на $\vec{x}$ и $\vec{a}$, или 0, если векторы коллинеарны. Проверьте, что эта функция линейна, и найдите строку ее коэффициентов в базисе $\vec{e}_{1}, \vec{e}_{2}$, если $\vec{a}=\alpha \vec{e}_{1}+\beta \vec{e}_{2}$.

Пусть $k$ — натуральное число. Сопоставим каждому многочлену степени не выше $n$ значение его $k$-й производной в точке а. Проверьте, что этим определена линейная функция. Найдите ее координатную строку в базисах

Пусть $e_{1}, \ldots , e_{n} \in \mathcal{L}$ и $\mathrm{e}^{* 1}, \ldots , \mathrm{e}^{* n} \in \mathcal{L}^{*}$ — пара биортогональных базисов. Убедитесь, что для любого $x \in \mathcal{L}$ и для любого $\mathrm{f} \in \mathcal{L}^{*}$ выполнены равенства

Значение билинейной функции b в некотором базисе записано как многочлен от координат $\xi^{i}$ и $\eta^{j}$ векторов $x$ и $y$ :

Напишите матрицу этой билинейной функции, если пространство

Как изменится матрица билинейной функции из задачи $1(a)$, если перейти к базису $e_{1}^{\prime }=e_{1}+e_{2}, e_{2}^{\prime }=e_{2}+e_{3}, e_{3}^{\prime }=e_{3}$ ?

Напишите матрицу квадратичной формы $\left(\xi^{1}\right)^{2}+\xi^{1} \xi^{2}+\left(\xi^{2}\right)^{2}$.

Приведите к каноническому виду квадратичную форму с матрицей

Нуль-пространством симметричной билинейной функции b называется множество векторов $x$, таких что для любых $y$ выполнено $\mathrm{b}(x, y)=0$. Проверьте, что это линейное подпространство. Как связана его размерность s с рангом b? Какой будет матрица функции b в базисе, последние s векторов которого лежат в нуль-пространстве?

$B n$-мерном пространстве заданы $m$ квадратичных форм. При каком условии существует базис, в котором они все могут быть представлены как многочлены от первых $k<n$ координат вектора?

Пусть $A$ — квадратная матрица порядка $n$ и ранга $r$. У квадратичной формы с матрицей $A^{T} A$ определите

Квадратичная форма с матрицей B положительно определена тогда и только тогда, когда найдется невырожденная верхняя треугольная матрица $R$, такая что $B=R^{T} R$. Докажите это.

Дана квадратичная форма k. При каком условии найдется ненулевой вектор $x$, для которого $\mathrm{k}(x)=0$ ?

Какому необходимому и достаточному условию должны удовлетворять главные миноры отрицательно определенной квадратичной формы?

Сколько существует жордановых матриц, отличающихся кратностями характеристических чисел, числом и размерами клеток, среди матриц

Найдите жорданову форму матрицы и матрицу перехода к жорданову базису для преобразования, заданного в исходном базисе матрицей