Квадратичные формы

Значение билинейной функции b в некотором базисе записано как многочлен от координат $\xi^{i}$ и $\eta^{j}$ векторов $x$ и $y$ :

Напишите матрицу этой билинейной функции, если пространство

Как изменится матрица билинейной функции из задачи $1(a)$, если перейти к базису $e_{1}^{\prime }=e_{1}+e_{2}, e_{2}^{\prime }=e_{2}+e_{3}, e_{3}^{\prime }=e_{3}$ ?

Напишите матрицу квадратичной формы $\left(\xi^{1}\right)^{2}+\xi^{1} \xi^{2}+\left(\xi^{2}\right)^{2}$.

Приведите к каноническому виду квадратичную форму с матрицей

Нуль-пространством симметричной билинейной функции b называется множество векторов $x$, таких что для любых $y$ выполнено $\mathrm{b}(x, y)=0$. Проверьте, что это линейное подпространство. Как связана его размерность s с рангом b? Какой будет матрица функции b в базисе, последние s векторов которого лежат в нуль-пространстве?

$B n$-мерном пространстве заданы $m$ квадратичных форм. При каком условии существует базис, в котором они все могут быть представлены как многочлены от первых $k<n$ координат вектора?

Пусть $A$ — квадратная матрица порядка $n$ и ранга $r$. У квадратичной формы с матрицей $A^{T} A$ определите

Квадратичная форма с матрицей B положительно определена тогда и только тогда, когда найдется невырожденная верхняя треугольная матрица $R$, такая что $B=R^{T} R$. Докажите это.

Дана квадратичная форма k. При каком условии найдется ненулевой вектор $x$, для которого $\mathrm{k}(x)=0$ ?

Какому необходимому и достаточному условию должны удовлетворять главные миноры отрицательно определенной квадратичной формы?