Основные понятия

Обозначим через $E_{i j}$ матрицу размеров $m \times n$, у которой элемент на пересечении $i$-й строки и $j$-го столбца равен 1 , а остальные элементы равны нулю. Убедитесь, что эти тn матриц образуют базис в линейном пространстве матриц размеров $m \times n$. (Этот базис называется стандартным базисом данного пространства.) Каковы координаты матрицы $A$ с элементами $a_{i j}$ в стандартном базисе?

Докажите, что верхние треугольные матрицы порядка $n$ образуют линейное пространство по отношению к обычным операциям с матрицами. Найдите размерность этого пространства и какой-нибудь базис в нем.

В линейном пространстве многочленов степени $\leqslant 3$ от переменной $t$ заданы два базиса: $1, t, t^{2}, t^{3}$ и $1, t-a,(t-a)^{2}$, $(t-a)^{3}$. Найдите матрицу перехода от первого базиса ко второму и с ее помощью разложение многочлена $p(t)$ по второму базису.

Как расположены друг относительно друга два базиса $e_{1}, \ldots , e_{n}$ и $f_{1}, \ldots , f_{n}$, если матрица перехода от $\mathbf{e} \kappa$ — верхняя треугольная? Докажите из этих соображений, что обратная к верхней треугольной матрице — также верхняя треугольная.

Как ориентированы друг относительно друга два базиса, если $f_{1}=e_{1}+e_{2} ; f_{2}=e_{2}+e_{3} ; f_{3}=e_{3}+e_{4} ; f_{4}=e_{4}-e_{1}$ ?