Линейные отображения

Все квадратные матрицы порядка 2 умножаются справа на матрицу

Этим определено отображение А пространства матриц порядка 2 в пространство матриц размеров 2 × 3.

Какому условию должна удовлетворять матрица $C$ размеров 2 × 3, для того чтобы отображение A, определенное в задаче 1, было инъективным? Может ли оно быть сюръективным?

Пусть $\mathcal{C}^{k}$ — линейное пространство функций, имеющих $k>1$ непрерывных производных на отрезке $[0,1]$. Дифференцирование отображает $\mathcal{C}^{k}$ в $\mathcal{C}^{k-1}$. Проверьте, что это линейное отображение. Будет ли оно

Пусть $\mathrm{A}: \mathcal{L} \rightarrow \overline{\mathcal{L}}$ и $\mathcal{M}=\mathrm{A}(\mathcal{L})$. Определим отображение $\mathrm{A}^{\prime }: \mathcal{L} \rightarrow \mathcal{M}$ равенством $\mathrm{A}^{\prime }(x)=\mathrm{A}(x)$. Докажите, что

Пусть $\mathcal{L}=\mathcal{L}_{1} \oplus \mathcal{L}_{2}$ и $x=x_{1}+x_{2}, x_{1} \in \mathcal{L}_{1}, x_{2} \in \mathcal{L}_{2}$. Oпределим преобразования $\mathrm{P}_{1}$ и $\mathrm{P}_{2}$ пространства $\mathcal{L}$ формулами: $\mathrm{P}_{1}(x)=x_{1}$ и $\mathrm{P}_{2}(x)=x_{2}$ (такие преобразования называются проектированиями). Докажите, что

где O - нулевое, а E - тождественное преобразования.

Для любого линейного отображения $\mathrm{A}: \mathcal{L} \rightarrow \overline{\mathcal{L}}$ найдутся такие базисы в $\mathcal{L}$ и $\overline{\mathcal{L}}$, что $A$ будет иметь матрицу

( $E_{r}$ — единичная подматрица порядка $r$, остальные элементы, если они есть, равны нулю.) Докажите эту теорему, приводя матрицу линейного отображения элементарными преобразованиями строк и столбцов к виду (4).

Пусть А - линейное отображение. Верно ли, что

Докажите, что ранг произведения отображений не превосходит рангов этих отображений. (Это будет еще одним доказательством оценки ранга произведения матриц из § 3 гл. V.)

Пусть В инъективно. Докажите, что для любого A выполнено $\mathrm{RgBA}=\mathrm{RgA}$.