Задача о собственных векторах

Докажите, что каждое подпространство $\mathcal{L}^{\prime }$, лежащее в $\operatorname {Ker} \mathrm{A}$, и каждое подпространство $\mathcal{L}^{\prime \prime }$, содержащее $\operatorname {Im} \mathrm{A}$, инвариантны относительно A.

Докажите, что сумма и пересечение инвариантных подпространств инвариантны.

Пусть А - линейное преобразование вещественного пространства, $\lambda$ — комплексный корень его характеристического многочлена, $p=(\lambda +\bar{\lambda }) / 2$ и $q=\lambda \bar{\lambda }$. Докажите, что размерность подпространства $\mathcal{L}^{\prime }=\operatorname {Ker}\left(\mathrm{A}^{2}-p A+q E\right)$ — четное число.

Пусть А: $\mathcal{L} \rightarrow \mathcal{L}$. Докажите, что $\mathcal{L}=\operatorname {Ker} \mathrm{A} \oplus \operatorname {Im} \mathrm{A}$ тогда и только тогда, когда $\operatorname {Ker} \mathrm{A}^{2}=\operatorname {Ker} \mathrm{A}$.

Пусть $\mathcal{L}=\operatorname {Ker} \mathrm{A} \oplus \operatorname {Im} \mathrm{A}$. Какой вид имеет матрица преобразования А в базисе e, если $e_{1}, \ldots , e_{r} \in \operatorname {Im} \mathrm{~ A}$, а $e_{r+1}, \ldots \ldots , e_{n} \in \operatorname {Ker} A$ ?

В некотором базисе преобразование задано матрицей

Существует ли базис, в котором его матрица диагональная? Если да, то найдите этот базис.

Haüдите собственные значения и собственные подпространства преобразования, заданного матрицей

Каждой квадратной матрице порядка п ставится в соответствие ее транспонированная матрица. Этим определено преобразование T пространства матриц. Найдите его собственные значения и собственные подпространства. Докажите из этих соображений, что каждая матрица однозначно представляется как сумма симметричной и кососимметричной.

Пусть А - поворот трехмерного векторного пространства вокруг некоторой оси на угол $\alpha$ и $A$ — матрица этого поворота в некотором базисе. Выразите $\alpha$ через элементы $A$.

Пусть А диагонализуемо. Докажите, что ограничение А на любом инвариантном подпространстве также диагонализуемо.

Преобразование А задано матрицей

Найдите матрицу перехода к какому-нибудь базису, в котором его матрица верхняя треугольная, а также матрицу преобразования в этом базисе.

Пусть матрица А невырождена. Представьте матрицу $A^{-1}$ как многочлен от $A$.

Пусть преобразование А удовлетворяет соотношению $\mathrm{A}^{2}=\mathrm{A}$. Докажите, что $\mathrm{Rg} \mathrm{A}=\operatorname {tr} \mathrm{A}$.

Пусть в некотором базисе $n$-мерного пространства $\mathcal{L}$ линейное преобразование А задано матрицей $A, a(n-1)$-мерное подпространство $\mathcal{L}^{\prime }$ — уравнением $\mathbf{u}^{T} \mathbf{x}=0$. Докажите, что $\mathcal{L}^{\prime }$ инвариантно относительно А тогда и только тогда, когда существует такой множитель $\lambda$, что $A^{T} \mathbf{u}=\lambda \mathbf{u}$.