Банк задач по математике

Задача VI.2.1

В линейном пространстве $\mathcal{L}$ заданы векторы $a_{1}, a_{2}$ и $a_{3}$ с координатными столбцами

\left\| \begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{array}\right\| \quad \left\| \begin{array}{l} 5 \\ 6 \\ 7 \\ 8 \end{array}\right\| \quad \left\| \begin{array}{c} 9 \\ 10 \\ 11 \\ 12 \end{array}\right\|

в базисе $e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}$ . Найдите базис их линейной оболочки $\mathcal{L}^{\prime }$ .

?

Задача VI.2.2

Найдите систему уравнений, задающую подпространство $\mathcal{L}^{\prime }$ из задачи 1.

?

Задача VI.2.3

Найдите какое-нибудь подпространство $\mathcal{M}^{\prime }$ , которое вместе с подпространством $\mathcal{L}^{\prime }$ из задачи 1 удовлетворяет условию $\mathcal{L}=\mathcal{L}^{\prime } \oplus \mathcal{M}^{\prime }$ .

?

Задача VI.2.4

(а)(б)

Подпространство $\mathcal{L}^{\prime }$ определено в задаче 1, подпространство $\mathcal{L}^{\prime \prime }$ натянуто на векторы $b_{1}$ и $b_{2}$ с координатами 1, 1, 1, 2 u 2, 2, 2, 5. Найдите

?

(а)

базис в $\mathcal{L}^{\prime }+\mathcal{L}^{\prime \prime }$

(б)

базис в $\mathcal{L}^{\prime } \bigcap \mathcal{L}^{\prime \prime }$ .

Задача VI.2.5

(а)(б)(в)

В четырехмерном пространстве заданы

?

(а)

четыре подпространства

(б)

пять подпространств

(в)

пять ненулевых подпространств. Может ли их сумма быть прямой?

Линейные подпространства