Операторы на пространствах со скалярным произведением

Пусть $n$ — положительное целое число. Определим $T \in \mathcal{L}(\mathbf{F}^{n})$ равенством

Найдите формулу для $T^{*}(z_{1}, \ldots , z_{n})$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V, W)$. Докажите, что

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ и $\lambda \in \mathbf{F}$. Докажите, что

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ и $U$ — подпространство $V$. Докажите, что

Пусть $T \in \mathcal{L}(V, W)$. Пусть $e_{1}, \ldots , e_{n}$ — ортонормированный базис $V$, а $f_{1}, \ldots , f_{m}$ — ортонормированный базис $W$. Докажите, что

Пусть $T \in \mathcal{L}(V, W)$. Докажите, что

Докажите, что если $T \in \mathcal{L}(V, W)$, то

Пусть $A$ — матрица размера $m$ на $n$ с элементами из $\mathbf{F}$. Используя пункт (b) задачи 7A.7, докажите, что ранг по строкам матрицы $A$ равен рангу по столбцам матрицы $A$.

Докажите, что произведение двух самосопряжённых операторов на $V$ самосопряжено тогда и только тогда, когда эти два оператора коммутируют.

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {C}$ и $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что $T$ самосопряжён тогда и только тогда, когда

для всех $v \in V$.

Определим оператор $S: \mathbf{F}^{2} \rightarrow \mathbf{F}^{2}$ равенством $S(w, z) = (-z, w)$.

Оператор $B \in \mathcal{L}(V)$ называется кососопряжённым, если

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что $T$ нормален тогда и только тогда, когда существуют коммутирующие операторы $A$ и $B$ такие, что $A$ самосопряжён, $B$ кососопряжён и $T = A+B$.

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {R}$. Определим $\mathcal{A} \in \mathcal{L}(\mathcal{L}(V))$ равенством $\mathcal{A} T = T^{*}$ для всех $T \in \mathcal{L}(V)$.

Определим скалярное произведение на $\mathcal{P}_{2}(\mathbb {R})$ равенством $\left\langle p, q \right\rangle = \int_{0}^{1} p q$. Определим оператор $T \in \mathcal{L}(\mathcal{P}_{2}(\mathbb {R}))$ равенством

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ обратим. Докажите, что

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {R}$.

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {C}$. Покажите, что множество самосопряжённых операторов на $V$ не является подпространством $\mathcal{L}(V)$.

Пусть $\operatorname {dim} V \geq 2$. Покажите, что множество нормальных операторов на $V$ не является подпространством $\mathcal{L}(V)$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ и $\left\| T^{*} v\right\| \leq \left\| T v\right\|$ для всех $v \in V$. Докажите, что $T$ нормален.

Пусть $P \in \mathcal{L}(V)$ таков, что $P^{2} = P$. Докажите, что следующие условия эквивалентны.

1. $P$ самосопряжён.

2. $P$ нормален.

3. Существует подпространство $U$ пространства $V$ такое, что $P = P_{U}$.

Пусть $D: \mathcal{P}_{8}(\mathbb {R}) \rightarrow \mathcal{P}_{8}(\mathbb {R})$ — оператор дифференцирования, определённый равенством $D p = p^{\prime }$. Докажите, что не существует скалярного произведения на $\mathcal{P}_{8}(\mathbb {R})$, делающего $D$ нормальным оператором.

Приведите пример оператора $T \in \mathcal{L}(\mathbb {R}^{3})$ такого, что $T$ нормален, но не самосопряжён.

Пусть $T$ — нормальный оператор на $V$. Пусть также $v, w \in V$ удовлетворяют равенствам

Покажите, что $\left\| T(v+w)\right\| = 10$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ и

— минимальный многочлен $T$. Докажите, что минимальный многочлен $T^{*}$ равен

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что $T$ диагонализируем тогда и только тогда, когда $T^{*}$ диагонализируем.

Зафиксируем $u, x \in V$. Определим $T \in \mathcal{L}(V)$ равенством $T v = \left\langle v, u \right\rangle x$ для всех $v \in V$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ нормален. Докажите, что

для всех положительных целых $k$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ нормален. Докажите, что если $\lambda \in \mathbf{F}$, то минимальный многочлен $T$ не является произведением $(x-\lambda )^{2}$ на какой-либо многочлен.

Докажите или приведите контрпример: если $T \in \mathcal{L}(V)$ и существует ортонормированный базис $e_{1}, \ldots , e_{n}$ пространства $V$ такой, что $\left\| T e_{k}\right\| = \left\| T^{*} e_{k}\right\|$ для каждого $k = 1, \ldots , n$, то $T$ нормален.

Пусть $T \in \mathcal{L}(\mathbf{F}^{3})$ нормален и $T(1,1,1) = (2,2,2)$. Пусть $(z_{1}, z_{2}, z_{3}) \in \operatorname {null} T$. Докажите, что $z_{1}+z_{2}+z_{3} = 0$.

Зафиксируем положительное целое число $n$. В пространстве со скалярным произведением непрерывных вещественнозначных функций на $[-\pi , \pi ]$ со скалярным произведением $\left\langle f, g \right\rangle = \int_{-\pi }^{\pi } f g$ пусть

Пусть $T: V \rightarrow W$ — линейное отображение. Покажите, что при стандартном отождествлении $V$ с $V^{\prime }$ (см. 6.58) и соответствующем отождествлении $W$ с $W^{\prime }$ сопряжённое отображение $T^{*}: W \rightarrow V$ соответствует двойственному отображению $T^{\prime }: W^{\prime } \rightarrow V^{\prime }$. Точнее, покажите, что

для всех $w \in W$, где $\varphi_{w}$ и $\varphi_{T^{*} w}$ определены как в 6.58.

6.58 (теорема Рисса о представлении, продолжение): пусть $V$ конечномерно. Для каждого $v \in V$ определим $\varphi_{v} \in V^{\prime }$ равенством $\varphi_{v}(u) = \left\langle u, v \right\rangle$ для каждого $u \in V$. Тогда $v \mapsto \varphi_{v}$ — взаимно однозначное отображение из $V$ на $V^{\prime }$.

Докажите, что нормальный оператор на комплексном пространстве со скалярным произведением самосопряжён тогда и только тогда, когда все его собственные значения вещественны.

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {C}$. Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ нормален и имеет единственное собственное значение. Докажите, что $T$ является скалярным кратным тождественного оператора.

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {C}$ и $T \in \mathcal{L}(V)$ нормален. Докажите, что множество собственных значений $T$ содержится в $\left\{ 0,1\right\}$ тогда и только тогда, когда существует подпространство $U$ пространства $V$ такое, что $T = P_{U}$.

Докажите, что нормальный оператор на комплексном пространстве со скалярным произведением кососопряжён (то есть равен минус своему сопряжённому) тогда и только тогда, когда все его собственные значения чисто мнимые (то есть их вещественная часть равна $0$).

Докажите или приведите контрпример: если $T \in \mathcal{L}(\mathbb {C}^{3})$ — диагонализируемый оператор, то $T$ нормален (относительно обычного скалярного произведения).

Пусть $V$ — комплексное пространство со скалярным произведением, а $T \in \mathcal{L}(V)$ — нормальный оператор такой, что $T^{9} = T^{8}$. Докажите, что $T$ самосопряжён и $T^{2} = T$.

Приведите пример оператора $T$ на комплексном векторном пространстве такого, что $T^{9} = T^{8}$, но $T^{2} \neq T$.

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {C}$ и $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что $T$ нормален тогда и только тогда, когда каждый собственный вектор $T$ является также собственным вектором $T^{*}$.

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {C}$ и $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что $T$ нормален тогда и только тогда, когда существует многочлен $p \in \mathcal{P}(\mathbb {C})$ такой, что $T^{*} = p(T)$.

Пусть $V$ — комплексное пространство со скалярным произведением. Докажите, что у каждого нормального оператора на $V$ есть квадратный корень.

Докажите, что у каждого самосопряжённого оператора на $V$ есть кубический корень.

Пусть $V$ — комплексное векторное пространство, а $T \in \mathcal{L}(V)$ нормален. Докажите, что если $S$ — оператор на $V$, коммутирующий с $T$, то $S$ коммутирует с $T^{*}$.

Не используя комплексную спектральную теорему, воспользуйтесь версией теоремы Шура, применимой к двум коммутирующим операторам (взяв $\mathcal{E} = \left\{ T, T^{*}\right\}$ в задаче 20 раздела 6B), чтобы дать другое доказательство того, что если $\mathbf{F} = \mathbb {C}$ и $T \in \mathcal{L}(V)$ нормален, то $T$ имеет диагональную матрицу относительно некоторого ортонормированного базиса $V$.

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {R}$ и $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что $T$ самосопряжён тогда и только тогда, когда все пары собственных векторов, соответствующих различным собственным значениям $T$, ортогональны и $V = E(\lambda_{1}, T) \oplus \cdots \oplus E(\lambda_{m}, T)$, где $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{m}$ обозначают различные собственные значения $T$.

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {C}$ и $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что $T$ нормален тогда и только тогда, когда все пары собственных векторов, соответствующих различным собственным значениям $T$, ортогональны и $V = E(\lambda_{1}, T) \oplus \cdots \oplus E(\lambda_{m}, T)$, где $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{m}$ обозначают различные собственные значения $T$.

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {C}$ и $\mathcal{E} \subseteq \mathcal{L}(V)$. Докажите, что существует ортонормированный базис $V$, относительно которого каждый элемент $\mathcal{E}$ имеет диагональную матрицу, тогда и только тогда, когда $S$ и $T$ являются коммутирующими нормальными операторами для всех $S, T \in \mathcal{E}$.

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {R}$ и $\mathcal{E} \subseteq \mathcal{L}(V)$. Докажите, что существует ортонормированный базис $V$, относительно которого каждый элемент $\mathcal{E}$ имеет диагональную матрицу, тогда и только тогда, когда $S$ и $T$ являются коммутирующими самосопряжёнными операторами для всех $S, T \in \mathcal{E}$.

Приведите пример вещественного пространства со скалярным произведением $V$, оператора $T \in \mathcal{L}(V)$ и вещественных чисел $b, c$ с $b^{2}<4 c$ таких, что

необратим.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ самосопряжён и $U$ — подпространство $V$, инвариантное относительно $T$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ нормален и $U$ — подпространство $V$, инвариантное относительно $T$.

Пусть $T$ — самосопряжённый оператор на конечномерном пространстве со скалярным произведением, и пусть $2$ и $3$ — единственные собственные значения $T$. Докажите, что

Приведите пример оператора $T \in \mathcal{L}(\mathbb {C}^{3})$ такого, что $2$ и $3$ — единственные собственные значения $T$ и $T^{2}-5 T+6 I \neq 0$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ самосопряжён, $\lambda \in \mathbf{F}$ и $\epsilon >0$. Пусть существует $v \in V$ такой, что $\left\| v\right\| = 1$ и

Докажите, что у $T$ есть собственное значение $\lambda^{\prime }$ такое, что $\left|\lambda -\lambda^{\prime }\right|<\epsilon$.

Пусть $U$ — конечномерное векторное пространство и $T \in \mathcal{L}(U)$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ и существует ортонормированный базис $e_{1}, \ldots , e_{n}$ пространства $V$, состоящий из собственных векторов $T$, с соответствующими собственными значениями $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$. Покажите, что если $k \in \left\{ 1, \ldots , n\right\}$, то псевдообратный оператор $T^{\dagger }$ удовлетворяет равенству

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что если и $T$, и $-T$ являются положительными операторами, то $T = 0$.

Пусть $T \in \mathcal{L}\left(\mathbf{F}^{4}\right)$ — оператор, матрица которого (относительно стандартного базиса) равна

Покажите, что $T$ — обратимый положительный оператор.

Пусть $n$ — положительное целое число и $T \in \mathcal{L}\left(\mathbf{F}^{n}\right)$ — оператор, матрица которого (относительно стандартного базиса) состоит целиком из единиц. Покажите, что $T$ — положительный оператор.

Пусть $n$ — целое число, $n > 1$. Покажите, что существует $n$-на-$n$ матрица $A$, все элементы которой являются положительными числами и $A = A^{*}$, но оператор на $\mathbf{F}^{n}$, матрица которого (относительно стандартного базиса) равна $A$, не является положительным оператором.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ самосопряжён. Докажите, что $T$ — положительный оператор тогда и только тогда, когда для каждого ортонормированного базиса $e_{1}, \ldots , e_{n}$ пространства $V$ все элементы на диагонали $\mathcal{M}(T, (e_{1}, \ldots , e_{n}))$ являются неотрицательными числами.

Докажите, что сумма двух положительных операторов на $V$ является положительным оператором.

Пусть $S \in \mathcal{L}(V)$ — обратимый положительный оператор, а $T \in \mathcal{L}(V)$ — положительный оператор. Докажите, что $S+T$ обратим.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что $T$ — положительный оператор тогда и только тогда, когда псевдообратный оператор $T^{\dagger }$ является положительным оператором.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ — положительный оператор, а $S \in \mathcal{L}(W, V)$. Докажите, что $S^{*} T S$ является положительным оператором на $W$.

Пусть $T$ — положительный оператор на $V$. Пусть $v, w \in V$ таковы, что

Докажите, что $v = w$.

Пусть $T$ — положительный оператор на $V$, а $U$ — подпространство $V$, инвариантное относительно $T$. Докажите, что $T|_{U} \in \mathcal{L}(U)$ является положительным оператором на $U$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ — положительный оператор. Докажите, что $T^{k}$ является положительным оператором для каждого положительного целого числа $k$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ самосопряжён и $\alpha \in \mathbf{R}$.

Пусть $T$ — положительный оператор на $V$ и $v_{1}, \ldots , v_{m} \in V$. Докажите, что

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ самосопряжён. Докажите, что существуют положительные операторы $A, B \in \mathcal{L}(V)$, такие что

Пусть $T$ — положительный оператор на $V$. Докажите, что

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ — положительный оператор. Докажите, что существует многочлен $p$ с вещественными коэффициентами, такой что $\sqrt{T} = p(T)$.

Пусть $S$ и $T$ — положительные операторы на $V$. Докажите, что $S T$ является положительным оператором тогда и только тогда, когда $S$ и $T$ коммутируют.

Покажите, что тождественный оператор на $\mathbf{F}^{2}$ имеет бесконечно много самосопряжённых квадратных корней.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ и $e_{1}, \ldots , e_{n}$ — ортонормированный базис $V$. Докажите, что $T$ — положительный оператор тогда и только тогда, когда существуют $v_{1}, \ldots , v_{n} \in V$, такие что

для всех $j, k = 1, \ldots , n$.

Пусть $n$ — положительное целое число. $n$-на-$n$ матрицей Гильберта называется $n$-на-$n$ матрица, элемент которой в строке $j$, столбце $k$ равен $\frac{1}{j+k-1}$. Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ — оператор, матрица которого относительно некоторого ортонормированного базиса $V$ является $n$-на-$n$ матрицей Гильберта. Докажите, что $T$ — положительный обратимый оператор.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ — положительный оператор и $u \in V$ таков, что $\left\| u\right\| = 1$ и $\left\| T u\right\| \geq \left\| T v\right\|$ для всех $v \in V$ с $\left\| v\right\| = 1$. Покажите, что $u$ — собственный вектор $T$, соответствующий наибольшему собственному значению $T$.

Для $T \in \mathcal{L}(V)$ и $u, v \in V$ определим $\left\langle u, v \right\rangle_{T}$ по формуле $\left\langle u, v \right\rangle_{T} = \left\langle T u, v \right\rangle$.

Пусть $S$ и $T$ — положительные операторы на $V$. Докажите, что

Пусть $T$ — оператор второй производной из задачи 31(b) раздела 7A. Покажите, что $-T$ является положительным оператором.

Задача 7A.31: зафиксируем положительное целое число $n$. В пространстве непрерывных вещественнозначных функций на $[-\pi , \pi ]$ со скалярным произведением $\left\langle f, g \right\rangle = \int_{-\pi }^{\pi } f g$ пусть $V = \operatorname {span}(1, \cos x, \cos 2 x, \ldots , \cos n x, \sin x, \sin 2 x, \ldots , \sin n x)$. Пункт (b) определяет $T \in \mathcal{L}(V)$ по формуле $T f = f''$.

Пусть $\dim V \geq 2$ и $S \in \mathcal{L}(V, W)$. Докажите, что $S$ является изометрией тогда и только тогда, когда $S e_{1}, S e_{2}$ — ортонормированный набор в $W$ для каждого ортонормированного набора $e_{1}, e_{2}$ длины два в $V$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V, W)$. Докажите, что $T$ является скалярным кратным изометрии тогда и только тогда, когда $T$ сохраняет ортогональность.

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {C}$ и $A, B \in \mathcal{L}(V)$ самосопряжены. Покажите, что $A+i B$ унитарен тогда и только тогда, когда $A B = B A$ и $A^{2}+B^{2} = I$.

Пусть $S \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что следующие утверждения эквивалентны.

1. $S$ — самосопряжённый унитарный оператор.

2. $S = 2 P-I$ для некоторой ортогональной проекции $P$ на $V$.

3. Существует подпространство $U$ пространства $V$, такое что $S u = u$ для каждого $u \in U$ и $S w = -w$ для каждого $w \in U^{\perp }$.

Пусть $T_{1}, T_{2}$ — оба нормальные операторы на $\mathbf{F}^{3}$ с собственными значениями $2, 5, 7$. Докажите, что существует унитарный оператор $S \in \mathcal{L}\left(\mathbf{F}^{3}\right)$, такой что $T_{1} = S^{*} T_{2} S$.