Положительные операторы

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что если и $T$, и $-T$ являются положительными операторами, то $T = 0$.

Пусть $T \in \mathcal{L}\left(\mathbf{F}^{4}\right)$ — оператор, матрица которого (относительно стандартного базиса) равна

Покажите, что $T$ — обратимый положительный оператор.

Пусть $n$ — положительное целое число и $T \in \mathcal{L}\left(\mathbf{F}^{n}\right)$ — оператор, матрица которого (относительно стандартного базиса) состоит целиком из единиц. Покажите, что $T$ — положительный оператор.

Пусть $n$ — целое число, $n > 1$. Покажите, что существует $n$-на-$n$ матрица $A$, все элементы которой являются положительными числами и $A = A^{*}$, но оператор на $\mathbf{F}^{n}$, матрица которого (относительно стандартного базиса) равна $A$, не является положительным оператором.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ самосопряжён. Докажите, что $T$ — положительный оператор тогда и только тогда, когда для каждого ортонормированного базиса $e_{1}, \ldots , e_{n}$ пространства $V$ все элементы на диагонали $\mathcal{M}(T, (e_{1}, \ldots , e_{n}))$ являются неотрицательными числами.

Докажите, что сумма двух положительных операторов на $V$ является положительным оператором.

Пусть $S \in \mathcal{L}(V)$ — обратимый положительный оператор, а $T \in \mathcal{L}(V)$ — положительный оператор. Докажите, что $S+T$ обратим.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что $T$ — положительный оператор тогда и только тогда, когда псевдообратный оператор $T^{\dagger }$ является положительным оператором.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ — положительный оператор, а $S \in \mathcal{L}(W, V)$. Докажите, что $S^{*} T S$ является положительным оператором на $W$.

Пусть $T$ — положительный оператор на $V$. Пусть $v, w \in V$ таковы, что

Докажите, что $v = w$.

Пусть $T$ — положительный оператор на $V$, а $U$ — подпространство $V$, инвариантное относительно $T$. Докажите, что $T|_{U} \in \mathcal{L}(U)$ является положительным оператором на $U$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ — положительный оператор. Докажите, что $T^{k}$ является положительным оператором для каждого положительного целого числа $k$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ самосопряжён и $\alpha \in \mathbf{R}$.

Пусть $T$ — положительный оператор на $V$ и $v_{1}, \ldots , v_{m} \in V$. Докажите, что

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ самосопряжён. Докажите, что существуют положительные операторы $A, B \in \mathcal{L}(V)$, такие что

Пусть $T$ — положительный оператор на $V$. Докажите, что

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ — положительный оператор. Докажите, что существует многочлен $p$ с вещественными коэффициентами, такой что $\sqrt{T} = p(T)$.

Пусть $S$ и $T$ — положительные операторы на $V$. Докажите, что $S T$ является положительным оператором тогда и только тогда, когда $S$ и $T$ коммутируют.

Покажите, что тождественный оператор на $\mathbf{F}^{2}$ имеет бесконечно много самосопряжённых квадратных корней.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ и $e_{1}, \ldots , e_{n}$ — ортонормированный базис $V$. Докажите, что $T$ — положительный оператор тогда и только тогда, когда существуют $v_{1}, \ldots , v_{n} \in V$, такие что

для всех $j, k = 1, \ldots , n$.

Пусть $n$ — положительное целое число. $n$-на-$n$ матрицей Гильберта называется $n$-на-$n$ матрица, элемент которой в строке $j$, столбце $k$ равен $\frac{1}{j+k-1}$. Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ — оператор, матрица которого относительно некоторого ортонормированного базиса $V$ является $n$-на-$n$ матрицей Гильберта. Докажите, что $T$ — положительный обратимый оператор.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ — положительный оператор и $u \in V$ таков, что $\left\| u\right\| = 1$ и $\left\| T u\right\| \geq \left\| T v\right\|$ для всех $v \in V$ с $\left\| v\right\| = 1$. Покажите, что $u$ — собственный вектор $T$, соответствующий наибольшему собственному значению $T$.

Для $T \in \mathcal{L}(V)$ и $u, v \in V$ определим $\left\langle u, v \right\rangle_{T}$ по формуле $\left\langle u, v \right\rangle_{T} = \left\langle T u, v \right\rangle$.

Пусть $S$ и $T$ — положительные операторы на $V$. Докажите, что

Пусть $T$ — оператор второй производной из задачи 31(b) раздела 7A. Покажите, что $-T$ является положительным оператором.

Задача 7A.31: зафиксируем положительное целое число $n$. В пространстве непрерывных вещественнозначных функций на $[-\pi , \pi ]$ со скалярным произведением $\left\langle f, g \right\rangle = \int_{-\pi }^{\pi } f g$ пусть $V = \operatorname {span}(1, \cos x, \cos 2 x, \ldots , \cos n x, \sin x, \sin 2 x, \ldots , \sin n x)$. Пункт (b) определяет $T \in \mathcal{L}(V)$ по формуле $T f = f''$.