Спектральная теорема

Докажите, что нормальный оператор на комплексном пространстве со скалярным произведением самосопряжён тогда и только тогда, когда все его собственные значения вещественны.

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {C}$. Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ нормален и имеет единственное собственное значение. Докажите, что $T$ является скалярным кратным тождественного оператора.

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {C}$ и $T \in \mathcal{L}(V)$ нормален. Докажите, что множество собственных значений $T$ содержится в $\left\{ 0,1\right\}$ тогда и только тогда, когда существует подпространство $U$ пространства $V$ такое, что $T = P_{U}$.

Докажите, что нормальный оператор на комплексном пространстве со скалярным произведением кососопряжён (то есть равен минус своему сопряжённому) тогда и только тогда, когда все его собственные значения чисто мнимые (то есть их вещественная часть равна $0$).

Докажите или приведите контрпример: если $T \in \mathcal{L}(\mathbb {C}^{3})$ — диагонализируемый оператор, то $T$ нормален (относительно обычного скалярного произведения).

Пусть $V$ — комплексное пространство со скалярным произведением, а $T \in \mathcal{L}(V)$ — нормальный оператор такой, что $T^{9} = T^{8}$. Докажите, что $T$ самосопряжён и $T^{2} = T$.

Приведите пример оператора $T$ на комплексном векторном пространстве такого, что $T^{9} = T^{8}$, но $T^{2} \neq T$.

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {C}$ и $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что $T$ нормален тогда и только тогда, когда каждый собственный вектор $T$ является также собственным вектором $T^{*}$.

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {C}$ и $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что $T$ нормален тогда и только тогда, когда существует многочлен $p \in \mathcal{P}(\mathbb {C})$ такой, что $T^{*} = p(T)$.

Пусть $V$ — комплексное пространство со скалярным произведением. Докажите, что у каждого нормального оператора на $V$ есть квадратный корень.

Докажите, что у каждого самосопряжённого оператора на $V$ есть кубический корень.

Пусть $V$ — комплексное векторное пространство, а $T \in \mathcal{L}(V)$ нормален. Докажите, что если $S$ — оператор на $V$, коммутирующий с $T$, то $S$ коммутирует с $T^{*}$.

Не используя комплексную спектральную теорему, воспользуйтесь версией теоремы Шура, применимой к двум коммутирующим операторам (взяв $\mathcal{E} = \left\{ T, T^{*}\right\}$ в задаче 20 раздела 6B), чтобы дать другое доказательство того, что если $\mathbf{F} = \mathbb {C}$ и $T \in \mathcal{L}(V)$ нормален, то $T$ имеет диагональную матрицу относительно некоторого ортонормированного базиса $V$.

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {R}$ и $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что $T$ самосопряжён тогда и только тогда, когда все пары собственных векторов, соответствующих различным собственным значениям $T$, ортогональны и $V = E(\lambda_{1}, T) \oplus \cdots \oplus E(\lambda_{m}, T)$, где $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{m}$ обозначают различные собственные значения $T$.

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {C}$ и $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что $T$ нормален тогда и только тогда, когда все пары собственных векторов, соответствующих различным собственным значениям $T$, ортогональны и $V = E(\lambda_{1}, T) \oplus \cdots \oplus E(\lambda_{m}, T)$, где $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{m}$ обозначают различные собственные значения $T$.

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {C}$ и $\mathcal{E} \subseteq \mathcal{L}(V)$. Докажите, что существует ортонормированный базис $V$, относительно которого каждый элемент $\mathcal{E}$ имеет диагональную матрицу, тогда и только тогда, когда $S$ и $T$ являются коммутирующими нормальными операторами для всех $S, T \in \mathcal{E}$.

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {R}$ и $\mathcal{E} \subseteq \mathcal{L}(V)$. Докажите, что существует ортонормированный базис $V$, относительно которого каждый элемент $\mathcal{E}$ имеет диагональную матрицу, тогда и только тогда, когда $S$ и $T$ являются коммутирующими самосопряжёнными операторами для всех $S, T \in \mathcal{E}$.

Приведите пример вещественного пространства со скалярным произведением $V$, оператора $T \in \mathcal{L}(V)$ и вещественных чисел $b, c$ с $b^{2}<4 c$ таких, что

необратим.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ самосопряжён и $U$ — подпространство $V$, инвариантное относительно $T$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ нормален и $U$ — подпространство $V$, инвариантное относительно $T$.

Пусть $T$ — самосопряжённый оператор на конечномерном пространстве со скалярным произведением, и пусть $2$ и $3$ — единственные собственные значения $T$. Докажите, что

Приведите пример оператора $T \in \mathcal{L}(\mathbb {C}^{3})$ такого, что $2$ и $3$ — единственные собственные значения $T$ и $T^{2}-5 T+6 I \neq 0$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ самосопряжён, $\lambda \in \mathbf{F}$ и $\epsilon >0$. Пусть существует $v \in V$ такой, что $\left\| v\right\| = 1$ и

Докажите, что у $T$ есть собственное значение $\lambda^{\prime }$ такое, что $\left|\lambda -\lambda^{\prime }\right|<\epsilon$.

Пусть $U$ — конечномерное векторное пространство и $T \in \mathcal{L}(U)$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ и существует ортонормированный базис $e_{1}, \ldots , e_{n}$ пространства $V$, состоящий из собственных векторов $T$, с соответствующими собственными значениями $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$. Покажите, что если $k \in \left\{ 1, \ldots , n\right\}$, то псевдообратный оператор $T^{\dagger }$ удовлетворяет равенству