Изометрии, унитарные операторы и матричные разложения

Пусть $\dim V \geq 2$ и $S \in \mathcal{L}(V, W)$. Докажите, что $S$ является изометрией тогда и только тогда, когда $S e_{1}, S e_{2}$ — ортонормированный набор в $W$ для каждого ортонормированного набора $e_{1}, e_{2}$ длины два в $V$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V, W)$. Докажите, что $T$ является скалярным кратным изометрии тогда и только тогда, когда $T$ сохраняет ортогональность.

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {C}$ и $A, B \in \mathcal{L}(V)$ самосопряжены. Покажите, что $A+i B$ унитарен тогда и только тогда, когда $A B = B A$ и $A^{2}+B^{2} = I$.

Пусть $S \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что следующие утверждения эквивалентны.

1. $S$ — самосопряжённый унитарный оператор.

2. $S = 2 P-I$ для некоторой ортогональной проекции $P$ на $V$.

3. Существует подпространство $U$ пространства $V$, такое что $S u = u$ для каждого $u \in U$ и $S w = -w$ для каждого $w \in U^{\perp }$.

Пусть $T_{1}, T_{2}$ — оба нормальные операторы на $\mathbf{F}^{3}$ с собственными значениями $2, 5, 7$. Докажите, что существует унитарный оператор $S \in \mathcal{L}\left(\mathbf{F}^{3}\right)$, такой что $T_{1} = S^{*} T_{2} S$.

Приведите пример двух самосопряжённых операторов $T_{1}, T_{2} \in \mathcal{L}\left(\mathbf{F}^{4}\right)$, таких что собственные значения обоих операторов равны $2, 5, 7$, но не существует унитарного оператора $S \in \mathcal{L}\left(\mathbf{F}^{4}\right)$, такого что $T_{1} = S^{*} T_{2} S$. Обязательно объясните, почему не существует унитарного оператора с требуемым свойством.

Докажите или приведите контрпример: если $S \in \mathcal{L}(V)$ и существует ортонормированный базис $e_{1}, \ldots , e_{n}$ пространства $V$, такой что $\left\| S e_{k}\right\| = 1$ для каждого $e_{k}$, то $S$ — унитарный оператор.

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {C}$ и $T \in \mathcal{L}(V)$. Пусть каждое собственное значение $T$ по модулю равно $1$ и $\left\| T v\right\| \leq \left\| v\right\|$ для каждого $v \in V$. Докажите, что $T$ — унитарный оператор.

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {C}$ и $T \in \mathcal{L}(V)$ — самосопряжённый оператор, такой что $\left\| T v\right\| \leq \left\| v\right\|$ для всех $v \in V$.

Пусть $S \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что $S$ — унитарный оператор тогда и только тогда, когда

Докажите или приведите контрпример: если $S \in \mathcal{L}(V)$ обратим и $\left\| S^{-1} v\right\| = \left\| S v\right\|$ для каждого $v \in V$, то $S$ унитарен.

Объясните, почему столбцы квадратной матрицы комплексных чисел образуют ортонормированный набор в $\mathbb {C}^{n}$ тогда и только тогда, когда строки этой матрицы образуют ортонормированный набор в $\mathbb {C}^{n}$.

Пусть $v \in V$, $\left\| v\right\| = 1$, и $b \in \mathbf{F}$. Также пусть $\dim V \geq 2$. Докажите, что существует унитарный оператор $S \in \mathcal{L}(V)$, такой что $\left\langle S v, v \right\rangle = b$, тогда и только тогда, когда $\left|b\right| \leq 1$.

Пусть $T$ — унитарный оператор на $V$, такой что $T-I$ обратим.

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {C}$ и $T \in \mathcal{L}(V)$ самосопряжён. Докажите, что $(T+i I)(T-i I)^{-1}$ является унитарным оператором и $1$ не является собственным значением этого оператора.

Объясните, почему выполняются характеризации унитарных матриц, данные в 7.57.

7.57 (характеризации унитарных матриц): пусть $Q$ — $n$-на-$n$ матрица. Тогда следующие утверждения эквивалентны: (a) $Q$ — унитарная матрица; (b) строки $Q$ образуют ортонормированный набор в $\mathbf{F}^{n}$; (c) $\left\| Q v\right\| = \left\| v\right\|$ для каждого $v \in \mathbf{F}^{n}$; (d) $Q^{*} Q = Q Q^{*} = I$, где $I$ — $n$-на-$n$ матрица с единицами на диагонали и нулями в остальных местах.

Квадратная матрица $A$ называется симметричной, если она равна своей транспонированной. Докажите, что если $A$ — симметричная матрица с вещественными элементами, то существует унитарная матрица $Q$ с вещественными элементами, такая что $Q^{*} A Q$ является диагональной матрицей.

Пусть $n$ — положительное целое число. В этой задаче мы используем обозначение, при котором типичный элемент $z$ пространства $\mathbb {C}^{n}$ обозначается как $z = (z_{0}, z_{1}, \ldots , z_{n-1})$. Определим линейные функционалы $\omega_{0}, \omega_{1}, \ldots , \omega_{n-1}$ на $\mathbb {C}^{n}$ по формуле

Дискретным преобразованием Фурье называется оператор $\mathcal{F} : \mathbb {C}^{n} \rightarrow \mathbb {C}^{n}$, определённый как

Пусть $A$ — квадратная матрица с линейно независимыми столбцами. Докажите, что существуют единственные матрицы $R$ и $Q$, такие что $R$ нижнетреугольна и имеет только положительные числа на диагонали, $Q$ унитарна, и $A = R Q$.