Банк задач по математике

Задача 7E.1

Пусть $T \in \mathcal{L}(V, W)$ . Покажите, что $T = 0$ тогда и только тогда, когда все сингулярные числа $T$ равны $0$ .

?

Задача 7E.2

Пусть $T \in \mathcal{L}(V, W)$ и $s > 0$ . Докажите, что $s$ — сингулярное число $T$ тогда и только тогда, когда существуют ненулевые векторы $v \in V$ и $w \in W$ , такие что

T v = s w \quad \text{ и } \quad T^{*} w = s v.

?

Примечание.

?

Векторы $v, w$ , удовлетворяющие обоим равенствам выше, называются парой Шмидта. Эрхард Шмидт ввёл понятие сингулярного числа в 1907 году.

Задача 7E.3

Приведите пример $T \in \mathcal{L}(\mathbb {C}^{2})$ , такого что $0$ — единственное собственное значение $T$ , а сингулярные числа $T$ равны $5, 0$ .

?

Задача 7E.4

Пусть $T \in \mathcal{L}(V, W), s_{1}$ — наибольшее сингулярное число $T$ , а $s_{n}$ — наименьшее сингулярное число $T$ . Докажите, что

\left\{ \left\| T v\right\| : v \in V \text{ и } \left\| v\right\| = 1\right\} = \left[s_{n}, s_{1}\right].

?

Задача 7E.5

Пусть $T \in \mathcal{L}(\mathbb {C}^{2})$ определён формулой $T(x, y) = (-4 y, x)$ . Найдите сингулярные числа $T$ .

?

Задача 7E.6

Найдите сингулярные числа оператора дифференцирования $D \in \mathcal{L}(\mathcal{P}_{2}(\mathbb {R}))$ , определённого формулой $D p = p^{\prime }$ , где скалярное произведение на $\mathcal{P}_{2}(\mathbb {R})$ задано формулой

\left\langle p, q \right\rangle = \int _{-1}^{1} p q.

?

Задача 7E.7

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ самосопряжён, либо $\mathbf{F} = \mathbb {C}$ и $T \in \mathcal{L}(V)$ нормален. Пусть $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$ — собственные значения $T$ , причём каждое включено в этот список столько раз, какова размерность соответствующего собственного подпространства. Покажите, что сингулярные числа $T$ равны $\left|\lambda_{1}\right|, \ldots , \left|\lambda_{n}\right|$ после того, как эти числа отсортированы по убыванию.

?

Задача 7E.8

Пусть $T \in \mathcal{L}(V, W)$ . Пусть $s_{1} \geq s_{2} \geq \cdots \geq s_{m} > 0$ , а $e_{1}, \ldots , e_{m}$ — ортонормированный набор в $V$ и $f_{1}, \ldots , f_{m}$ — ортонормированный набор в $W$ , такие что

T v = s_{1} \left\langle v, e_{1} \right\rangle f_{1} + \cdots + s_{m} \left\langle v, e_{m} \right\rangle f_{m}

для каждого $v \in V$ .

?

(a)

Докажите, что $f_{1}, \ldots , f_{m}$ — ортонормированный базис $\operatorname {range} T$ .

(b)

Докажите, что $e_{1}, \ldots , e_{m}$ — ортонормированный базис $\left(\operatorname {null} T\right)^{\perp }$ .

(c)

Докажите, что $s_{1}, \ldots , s_{m}$ — положительные сингулярные числа $T$ .

(d)

Докажите, что если $k \in \left\{ 1, \ldots , m\right\}$ , то $e_{k}$ — собственный вектор $T^{*} T$ с соответствующим собственным значением $s_{k}^{2}$ .

(e)

Докажите, что

T T^{*} w = s_{1}^{2} \left\langle w, f_{1} \right\rangle f_{1} + \cdots + s_{m}^{2} \left\langle w, f_{m} \right\rangle f_{m}

для всех $w \in W$ .

Задача 7E.9

Пусть $T \in \mathcal{L}(V, W)$ . Покажите, что $T$ и $T^{*}$ имеют одни и те же положительные сингулярные числа.

?

Задача 7E.10

Пусть $T \in \mathcal{L}(V, W)$ имеет сингулярные числа $s_{1}, \ldots , s_{n}$ . Докажите, что если $T$ — обратимое линейное отображение, то $T^{-1}$ имеет сингулярные числа

\frac{1}{s_{n}}, \ldots , \frac{1}{s_{1}}.

?

Задача 7E.11

(a)(b)

Пусть $T \in \mathcal{L}(V, W)$ и $v_{1}, \ldots , v_{n}$ — ортонормированный базис $V$ . Пусть $s_{1}, \ldots , s_{n}$ обозначают сингулярные числа $T$ .

?

(a)

Докажите, что $\left\| T v_{1}\right\|^{2} + \cdots + \left\| T v_{n}\right\|^{2} = s_{1}^{2} + \cdots + s_{n}^{2}$ .

(b)

Докажите, что если $W = V$ и $T$ — положительный оператор, то

\left\langle T v_{1}, v_{1} \right\rangle + \cdots + \left\langle T v_{n}, v_{n} \right\rangle = s_{1} + \cdots + s_{n}.

Примечание.

?

Задача 5 раздела 7A показывает, что если $e_{1}, \ldots , e_{n}$ — ортонормированный базис $V$ , а $f_{1}, \ldots , f_{m}$ — ортонормированный базис $W$ , то $\left\| T e_{1}\right\|^{2} + \cdots + \left\| T e_{n}\right\|^{2} = \left\| T^{*} f_{1}\right\|^{2} + \cdots + \left\| T^{*} f_{m}\right\|^{2}$ ; в частности, левая часть не зависит от того, какой ортонормированный базис $e_{1}, \ldots , e_{n}$ пространства $V$ используется. Пункт (a) этой задачи определяет это общее значение.

Задача 7E.12

(a)(b)

?

(a)

Приведите пример конечномерного векторного пространства и оператора $T$ на нём, такого что сингулярные числа $T^{2}$ не равны квадратам сингулярных чисел $T$ .

(b)

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ нормален. Докажите, что сингулярные числа $T^{2}$ равны квадратам сингулярных чисел $T$ .

Задача 7E.13

Пусть $T_{1}, T_{2} \in \mathcal{L}(V)$ . Докажите, что $T_{1}$ и $T_{2}$ имеют одни и те же сингулярные числа тогда и только тогда, когда существуют унитарные операторы $S_{1}, S_{2} \in \mathcal{L}(V)$ , такие что $T_{1} = S_{1} T_{2} S_{2}$ .

?

Задача 7E.14

Пусть $T \in \mathcal{L}(V, W)$ . Пусть $s_{n}$ обозначает наименьшее сингулярное число $T$ . Докажите, что $s_{n} \left\| v\right\| \leq \left\| T v\right\|$ для каждого $v \in V$ .

?

Задача 7E.15

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ и $s_{1} \geq \cdots \geq s_{n}$ — сингулярные числа $T$ . Докажите, что если $\lambda$ — собственное значение $T$ , то $s_{1} \geq \left|\lambda \right| \geq s_{n}$ .

?

Задача 7E.16

Пусть $T \in \mathcal{L}(V, W)$ . Докажите, что $\left(T^{*}\right)^{\dagger } = \left(T^{\dagger }\right)^{*}$ .

?

Примечание.

?

Сравните результат этой задачи с аналогичным результатом для обратимых линейных отображений: если $T \in \mathcal{L}(V, W)$ обратимо, то $T^{*}$ обратим и $\left(T^{*}\right)^{-1} = \left(T^{-1}\right)^{*}$ .

Задача 7E.17

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ . Докажите, что $T$ самосопряжён тогда и только тогда, когда $T^{\dagger }$ самосопряжён.

?

Сингулярное разложение