Следствия сингулярного разложения

Докажите, что если $S, T \in \mathcal{L}(V, W)$, то $\left|\left\| S\right\| - \left\| T\right\| \right| \leq \left\| S - T\right\|$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ самосопряжён, либо $\mathbf{F} = \mathbb {C}$ и $T \in \mathcal{L}(V)$ нормален. Докажите, что

Пусть $T \in \mathcal{L}(V, W)$ и $v \in V$. Докажите, что

Пусть $T \in \mathcal{L}(V, W), v \in V$ и $\left\| T v\right\| = \left\| T\right\| \left\| v\right\|$. Докажите, что если $u \in V$ и $\left\langle u, v \right\rangle = 0$, то $\left\langle T u, T v \right\rangle = 0$.

Пусть $U$ — конечномерное пространство со скалярным произведением, $T \in \mathcal{L}(V, U)$ и $S \in \mathcal{L}(U, W)$. Докажите, что

Докажите или приведите контрпример: если $S, T \in \mathcal{L}(V)$, то $\left\| S T\right\| = \left\| T S\right\|$.

Покажите, что определение $d(S, T) = \left\| S - T\right\|$ для $S, T \in \mathcal{L}(V, W)$ задаёт метрику $d$ на $\mathcal{L}(V, W)$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что для каждого $\epsilon > 0$ существует обратимый оператор $S \in \mathcal{L}(V)$, такой что $0 < \left\| T - S\right\| < \epsilon$.

Пусть $\operatorname {dim} V > 1$ и $T \in \mathcal{L}(V)$ необратим. Докажите, что для каждого $\epsilon > 0$ существует $S \in \mathcal{L}(V)$, такой что $0 < \left\| T - S\right\| < \epsilon$ и $S$ необратим.

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {C}$ и $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что для каждого $\epsilon > 0$ существует диагонализируемый оператор $S \in \mathcal{L}(V)$, такой что $0 < \left\| T - S\right\| < \epsilon$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ — положительный оператор. Покажите, что $\left\| \sqrt{T}\right\| = \sqrt{\left\| T\right\| }$.

Пусть $S, T \in \mathcal{L}(V)$ — положительные операторы. Покажите, что

Пусть $U$ и $W$ — подпространства $V$, такие что $\left\| P_{U} - P_{W}\right\| < 1$. Докажите, что $\operatorname {dim} U = \operatorname {dim} W$.

Определим $T \in \mathcal{L}(\mathbf{F}^{3})$ формулой

Найдите (в явном виде) унитарный оператор $S \in \mathcal{L}(\mathbf{F}^{3})$, такой что $T = S \sqrt{T^{*} T}$.

Пусть $S \in \mathcal{L}(V)$ — положительный обратимый оператор. Докажите, что существует $\delta > 0$, такое что $T$ — положительный оператор для каждого самосопряжённого оператора $T \in \mathcal{L}(V)$ с $\left\| S - T\right\| < \delta$.

Докажите, что если $u \in V$ и $\varphi_{u}$ — линейный функционал на $V$, определённый равенством $\varphi_{u}(v) = \left\langle v, u \right\rangle$, то $\left\| \varphi_{u}\right\| = \left\| u\right\|$.

Пусть $e_{1}, \ldots , e_{n}$ — ортонормированный базис $V$ и $T \in \mathcal{L}(V, W)$.

Докажите, что если $T \in \mathcal{L}(V, W)$, то $\left\| T^{*} T\right\| = \left\| T\right\|^{2}$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ нормален. Докажите, что $\left\| T^{k}\right\| = \left\| T\right\|^{k}$ для каждого положительного целого $k$.

Пусть $\operatorname {dim} V > 1$ и $\operatorname {dim} W > 1$. Докажите, что норма на $\mathcal{L}(V, W)$ не происходит от скалярного произведения. Иными словами, докажите, что не существует скалярного произведения на $\mathcal{L}(V, W)$, такого что

для всех $T \in \mathcal{L}(V, W)$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V, W)$. Пусть $n = \operatorname {dim} V$ и пусть $s_{1} \geq \cdots \geq s_{n}$ обозначают сингулярные числа $T$. Докажите, что если $1 \leq k \leq n$, то

Пусть $T \in \mathcal{L}(V, W)$. Покажите, что $T$ равномерно непрерывен относительно метрик на $V$ и $W$, возникающих из норм на этих пространствах.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ обратим. Докажите, что

Зафиксируем $u, x \in V$ с $u \neq 0$. Определим $T \in \mathcal{L}(V)$ формулой $T v = \left\langle v, u \right\rangle x$ для каждого $v \in V$. Докажите, что

для каждого $v \in V$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что $T$ обратим тогда и только тогда, когда существует единственный унитарный оператор $S \in \mathcal{L}(V)$, такой что $T = S \sqrt{T^{*} T}$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ и $s_{1}, \ldots , s_{n}$ — сингулярные числа $T$. Пусть $e_{1}, \ldots , e_{n}$ и $f_{1}, \ldots , f_{n}$ — ортонормированные базисы $V$, такие что

для всех $v \in V$. Определим $S \in \mathcal{L}(V)$ формулой

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что существует унитарный оператор $S \in \mathcal{L}(V)$, такой что $T = \sqrt{T T^{*}} S$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V), S \in \mathcal{L}(V)$ — унитарный оператор, а $R \in \mathcal{L}(V)$ — положительный оператор, такие что $T = S R$. Докажите, что $R = \sqrt{T^{*} T}$.

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {C}$ и $T \in \mathcal{L}(V)$ нормален. Докажите, что существует унитарный оператор $S \in \mathcal{L}(V)$, такой что $T = S \sqrt{T^{*} T}$ и такой что $S$ и $\sqrt{T^{*} T}$ оба имеют диагональные матрицы относительно одного и того же ортонормированного базиса $V$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V, W)$ и $T \neq 0$. Пусть $s_{1}, \ldots , s_{m}$ обозначают положительные сингулярные числа $T$. Покажите, что существует ортонормированный базис $e_{1}, \ldots , e_{m}$ пространства $\left(\operatorname {null} T\right)^{\perp }$, такой что

равно шару в $\operatorname {range} T$ радиуса $1$ с центром в $0$.