Самосопряжённые и нормальные операторы

Пусть $n$ — положительное целое число. Определим $T \in \mathcal{L}(\mathbf{F}^{n})$ равенством

Найдите формулу для $T^{*}(z_{1}, \ldots , z_{n})$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V, W)$. Докажите, что

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ и $\lambda \in \mathbf{F}$. Докажите, что

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ и $U$ — подпространство $V$. Докажите, что

Пусть $T \in \mathcal{L}(V, W)$. Пусть $e_{1}, \ldots , e_{n}$ — ортонормированный базис $V$, а $f_{1}, \ldots , f_{m}$ — ортонормированный базис $W$. Докажите, что

Пусть $T \in \mathcal{L}(V, W)$. Докажите, что

Докажите, что если $T \in \mathcal{L}(V, W)$, то

Пусть $A$ — матрица размера $m$ на $n$ с элементами из $\mathbf{F}$. Используя пункт (b) задачи 7A.7, докажите, что ранг по строкам матрицы $A$ равен рангу по столбцам матрицы $A$.

Докажите, что произведение двух самосопряжённых операторов на $V$ самосопряжено тогда и только тогда, когда эти два оператора коммутируют.

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {C}$ и $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что $T$ самосопряжён тогда и только тогда, когда

для всех $v \in V$.

Определим оператор $S: \mathbf{F}^{2} \rightarrow \mathbf{F}^{2}$ равенством $S(w, z) = (-z, w)$.

Оператор $B \in \mathcal{L}(V)$ называется кососопряжённым, если

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что $T$ нормален тогда и только тогда, когда существуют коммутирующие операторы $A$ и $B$ такие, что $A$ самосопряжён, $B$ кососопряжён и $T = A+B$.

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {R}$. Определим $\mathcal{A} \in \mathcal{L}(\mathcal{L}(V))$ равенством $\mathcal{A} T = T^{*}$ для всех $T \in \mathcal{L}(V)$.

Определим скалярное произведение на $\mathcal{P}_{2}(\mathbb {R})$ равенством $\left\langle p, q \right\rangle = \int_{0}^{1} p q$. Определим оператор $T \in \mathcal{L}(\mathcal{P}_{2}(\mathbb {R}))$ равенством

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ обратим. Докажите, что

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {R}$.

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {C}$. Покажите, что множество самосопряжённых операторов на $V$ не является подпространством $\mathcal{L}(V)$.

Пусть $\operatorname {dim} V \geq 2$. Покажите, что множество нормальных операторов на $V$ не является подпространством $\mathcal{L}(V)$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ и $\left\| T^{*} v\right\| \leq \left\| T v\right\|$ для всех $v \in V$. Докажите, что $T$ нормален.

Пусть $P \in \mathcal{L}(V)$ таков, что $P^{2} = P$. Докажите, что следующие условия эквивалентны.

1. $P$ самосопряжён.

2. $P$ нормален.

3. Существует подпространство $U$ пространства $V$ такое, что $P = P_{U}$.

Пусть $D: \mathcal{P}_{8}(\mathbb {R}) \rightarrow \mathcal{P}_{8}(\mathbb {R})$ — оператор дифференцирования, определённый равенством $D p = p^{\prime }$. Докажите, что не существует скалярного произведения на $\mathcal{P}_{8}(\mathbb {R})$, делающего $D$ нормальным оператором.

Приведите пример оператора $T \in \mathcal{L}(\mathbb {R}^{3})$ такого, что $T$ нормален, но не самосопряжён.

Пусть $T$ — нормальный оператор на $V$. Пусть также $v, w \in V$ удовлетворяют равенствам

Покажите, что $\left\| T(v+w)\right\| = 10$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ и

— минимальный многочлен $T$. Докажите, что минимальный многочлен $T^{*}$ равен

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что $T$ диагонализируем тогда и только тогда, когда $T^{*}$ диагонализируем.

Зафиксируем $u, x \in V$. Определим $T \in \mathcal{L}(V)$ равенством $T v = \left\langle v, u \right\rangle x$ для всех $v \in V$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ нормален. Докажите, что

для всех положительных целых $k$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ нормален. Докажите, что если $\lambda \in \mathbf{F}$, то минимальный многочлен $T$ не является произведением $(x-\lambda )^{2}$ на какой-либо многочлен.

Докажите или приведите контрпример: если $T \in \mathcal{L}(V)$ и существует ортонормированный базис $e_{1}, \ldots , e_{n}$ пространства $V$ такой, что $\left\| T e_{k}\right\| = \left\| T^{*} e_{k}\right\|$ для каждого $k = 1, \ldots , n$, то $T$ нормален.

Пусть $T \in \mathcal{L}(\mathbf{F}^{3})$ нормален и $T(1,1,1) = (2,2,2)$. Пусть $(z_{1}, z_{2}, z_{3}) \in \operatorname {null} T$. Докажите, что $z_{1}+z_{2}+z_{3} = 0$.

Зафиксируем положительное целое число $n$. В пространстве со скалярным произведением непрерывных вещественнозначных функций на $[-\pi , \pi ]$ со скалярным произведением $\left\langle f, g \right\rangle = \int_{-\pi }^{\pi } f g$ пусть

Пусть $T: V \rightarrow W$ — линейное отображение. Покажите, что при стандартном отождествлении $V$ с $V^{\prime }$ (см. 6.58) и соответствующем отождествлении $W$ с $W^{\prime }$ сопряжённое отображение $T^{*}: W \rightarrow V$ соответствует двойственному отображению $T^{\prime }: W^{\prime } \rightarrow V^{\prime }$. Точнее, покажите, что

для всех $w \in W$, где $\varphi_{w}$ и $\varphi_{T^{*} w}$ определены как в 6.58.

6.58 (теорема Рисса о представлении, продолжение): пусть $V$ конечномерно. Для каждого $v \in V$ определим $\varphi_{v} \in V^{\prime }$ равенством $\varphi_{v}(u) = \left\langle u, v \right\rangle$ для каждого $u \in V$. Тогда $v \mapsto \varphi_{v}$ — взаимно однозначное отображение из $V$ на $V^{\prime }$.