Коммутативная алгебра

Параллелепипед $P(e_1,\ldots ,e_n)$, натянутый на какой-либо базис $\{ e_1,\ldots ,e_n\}$ решетки $L \subset E^n$, называется фундаментальным параллелепипедом этой решетки. Доказать, что его объем не зависит от выбора базиса решетки $L$.

Доказать, что подгруппа $L \subset E^n$ дискретна тогда и только тогда, когда ее пересечение с некоторой окрестностью нуля состоит только из нуля.

Доказать, что $u_i = d_i/d_{i-1}$, где $d_i$ --- наибольший общий делитель миноров $i$-го порядка исходной матрицы $C$ ($d_0$ считается равным 1 и $0/0$ считается равным 0).

Доказать, что при $m=n$ индекс $|L:N|$ конечен и равен произведению инвариантных множителей.

Пусть $L$ --- решетка в $E^n$ и $N$ --- ее подрешетка. Доказать, что индекс $|L:N|$ равен отношению объемов фундаментальных параллелепипедов решеток $N$ и $L$.

Доказать, что группа $\mathbb {Z}$ не может быть разложена в прямую сумму двух ненулевых подгрупп.

Найти прообразы элементов $[1]_3 \in \mathbb {Z}_3$ и $[1]_5 \in \mathbb {Z}_5$ при изоморфизме $\varphi : \mathbb {Z}_{15} \to \mathbb {Z}_3 \oplus \mathbb {Z}_5$, построенном как в предложении (о разложении $\mathbb {Z}_n \simeq \mathbb {Z}_{n_1} \oplus \ldots \oplus \mathbb {Z}_{n_s}$ для попарно взаимно простых $n_1,\ldots ,n_s$).

Доказать более сильную версию китайской теоремы об остатках, не предполагающую попарной взаимной простоты чисел $n_1,\ldots ,n_s$: система сравнений $x \equiv m_i \pmod{n_i}$ ($i=1,\ldots ,s$) имеет решение тогда и только тогда, когда $m_i \equiv m_j \pmod{(n_i,n_j)}$ при любых $i,j$.

Доказать, что примарная циклическая группа не может быть разложена в прямую сумму двух ненулевых подгрупп.

Найти какие-нибудь порождающие элементы групп $\mathbb {Z}_7^*$ и $\mathbb {Z}_{41}^*$.

Доказать, что для любого простого $p \neq 2$ группа $\mathbb {Z}_{p^k}^*$ обратимых элементов кольца $\mathbb {Z}_{p^k}$ является циклической.

Доказать, что группа $\mathbb {Z}_{2^k}^*$ обратимых элементов кольца $\mathbb {Z}_{2^k}$ не является циклической при $k > 2$; более точно, $\mathbb {Z}_{2^k}^* = \langle 3 \rangle \times \langle -1 \rangle \cong \mathbb {Z}_{2^{k-2}} \oplus \mathbb {Z}_2$.

Доказать, что многочлен $x^4+1$ приводим над любым конечным полем.

Используя результат примера 1.11 ($\mathbb {Z}_n \simeq \mathbb {Z}_{n_1} \oplus \ldots \oplus \mathbb {Z}_{n_s}$ для $n = n_1\ldots n_s$ попарно взаимно простых), получить следующую формулу для функции Эйлера:

где $p_1,\ldots ,p_s$ --- все (различные) простые делители числа $n$.

Доказать, что группа $\mathbb {Z}_n^*$ является циклической тогда и только тогда, когда $n=2,4,p^k$ или $2p^k$, где $p$ --- нечетное простое число.

Доказать, что для составного $n$ утверждение «$a^{n-1} \equiv 1 \pmod{n}$ для любого целого $a$, взаимно простого с $n$» (наивный аналог малой теоремы Ферма) может быть верно, только если $n$ является произведением не менее трех различных нечетных простых чисел, и что наименьшее составное $n$, для которого это утверждение верно, --- это 561.

Доказать, что простые элементы кольца $\mathbb {Z}^{i}$ --- это, с точностью до ассоциированности, простые натуральные числа вида $4k+3$, числа вида $a+bi$ ($a,b \in \mathbb {N}$), где $a^2+b^2$ есть простое натуральное число вида $4k+1$, и число $1+i$.

Пользуясь однозначностью разложения на простые множители в кольце $\mathbb {Z}^{i}$, доказать, что натуральное число $n$ представимо в виде суммы квадратов двух целых чисел тогда и только тогда, когда в его разложении на простые множители (в $\mathbb {Z}$) все множители вида $4k+3$ входят в четной степени, и найти число таких представлений в этом случае.

Доказать, что оператор умножения на $t$ в $K[t]$-модуле $K[t]/(h(t))$, где $h(t)=t^n+a_1t^{n-1}+\ldots +a_{n-1}t+a_n$, имеет в базисе $\{ [t^{n-1}],[t^{n-2}],\ldots ,[t],[1]\}$ матрицу

а его характеристический многочлен равен $h(t)$. Вывести отсюда, что произведение инвариантных множителей $K[t]$-модуля, ассоциированного с любым линейным оператором $\mathscr {A}$, равно характеристическому многочлену оператора $\mathscr {A}$.

Вывести из задачи 9.3.1 теорему Гамильтона --- Кэли (следствие 3 теоремы 6.5.1).

Получить канонический вид матрицы линейного оператора над полем вещественных чисел.

Получить канонический вид матрицы линейного оператора в четырехмерном векторном пространстве над полем $\mathbb {Z}_2$.

Доказать, что

Составить таблицы сложения и умножения в поле $\mathbb {F}_4$ (единственном 4-элементном расширении поля $\mathbb {Z}_2$, получаемом присоединением корня неприводимого многочлена $x^2+x+1$).

Доказать, что в поле $\mathbb {Q}(\sqrt{d})$, где $d$ --- целое число, свободное от квадратов, целыми являются числа вида $a+b\sqrt{d}$, где $a,b \in \mathbb {Z}$ либо, если $d \equiv 1 \pmod4$, $a,b \in \mathbb {Z}+\frac12$.

Доказать, что в поле деления круга $\mathbb {Q}(\varepsilon_p)$ (см. примеры 5.2 и 5.5 из §9.5) целыми являются числа

Доказать аналогичным способом (примеру вычисления определителя Вандермонда через факториальность кольца многочленов), что

где $\omega = -\frac12+i\frac{\sqrt3}2$.

Пусть $f \in K[x_1,\ldots ,x_n]$ --- любой необратимый ненулевой многочлен, разложенный на неприводимые множители $f = p_1^{k_1}\ldots p_s^{k_s}$, и $M(f) = M(p_1) \cup \ldots \cup M(p_s)$ --- соответствующее разложение многообразия $M(f)$ на неприводимые компоненты. Найти $I(M(f))$.

Доказать, что всякий ненулевой простой главный идеал является минимальным среди ненулевых простых идеалов кольца $A$ (нётерова кольца).

Доказать, что в факториальном кольце любой минимальный простой идеал является главным.