Модули над кольцами главных идеалов

Доказать, что оператор умножения на $t$ в $K[t]$-модуле $K[t]/(h(t))$, где $h(t)=t^n+a_1t^{n-1}+\ldots +a_{n-1}t+a_n$, имеет в базисе $\{ [t^{n-1}],[t^{n-2}],\ldots ,[t],[1]\}$ матрицу

а его характеристический многочлен равен $h(t)$. Вывести отсюда, что произведение инвариантных множителей $K[t]$-модуля, ассоциированного с любым линейным оператором $\mathscr {A}$, равно характеристическому многочлену оператора $\mathscr {A}$.

Вывести из задачи 9.3.1 теорему Гамильтона --- Кэли (следствие 3 теоремы 6.5.1).

Получить канонический вид матрицы линейного оператора над полем вещественных чисел.

Получить канонический вид матрицы линейного оператора в четырехмерном векторном пространстве над полем $\mathbb {Z}_2$.