Идеалы и факторкольца

Используя результат примера 1.11 ($\mathbb {Z}_n \simeq \mathbb {Z}_{n_1} \oplus \ldots \oplus \mathbb {Z}_{n_s}$ для $n = n_1\ldots n_s$ попарно взаимно простых), получить следующую формулу для функции Эйлера:

где $p_1,\ldots ,p_s$ --- все (различные) простые делители числа $n$.

Доказать, что группа $\mathbb {Z}_n^*$ является циклической тогда и только тогда, когда $n=2,4,p^k$ или $2p^k$, где $p$ --- нечетное простое число.

Доказать, что для составного $n$ утверждение «$a^{n-1} \equiv 1 \pmod{n}$ для любого целого $a$, взаимно простого с $n$» (наивный аналог малой теоремы Ферма) может быть верно, только если $n$ является произведением не менее трех различных нечетных простых чисел, и что наименьшее составное $n$, для которого это утверждение верно, --- это 561.

Доказать, что простые элементы кольца $\mathbb {Z}^{i}$ --- это, с точностью до ассоциированности, простые натуральные числа вида $4k+3$, числа вида $a+bi$ ($a,b \in \mathbb {N}$), где $a^2+b^2$ есть простое натуральное число вида $4k+1$, и число $1+i$.

Пользуясь однозначностью разложения на простые множители в кольце $\mathbb {Z}^{i}$, доказать, что натуральное число $n$ представимо в виде суммы квадратов двух целых чисел тогда и только тогда, когда в его разложении на простые множители (в $\mathbb {Z}$) все множители вида $4k+3$ входят в четной степени, и найти число таких представлений в этом случае.