9.5

Алгебраические расширения

[3/33%]
Показать
LaTeX
Задача 9.5.1

Составить таблицы сложения и умножения в поле F4\mathbb {F}_4 (единственном 4-элементном расширении поля Z2\mathbb {Z}_2, получаемом присоединением корня неприводимого многочлена x2+x+1x^2+x+1).

?
Задача 9.5.2

Доказать, что в поле Q(d)\mathbb {Q}(\sqrt{d}), где dd --- целое число, свободное от квадратов, целыми являются числа вида a+bda+b\sqrt{d}, где a,b∈Za,b \in \mathbb {Z} либо, если d≡1(mod4)d \equiv 1 \pmod4, a,b∈Z+12a,b \in \mathbb {Z}+\frac12.

?
Задача 9.5.3

Доказать, что в поле деления круга Q(εp)\mathbb {Q}(\varepsilon_p) (см. примеры 5.2 и 5.5 из §9.5) целыми являются числа

a0+a1εp+…+ap−2εpp−2,a0,a1,…,ap−2∈Z. a_0+a_1\varepsilon _p+\ldots +a_{p-2}\varepsilon _p^{p-2}, \quad a_0,a_1,\ldots ,a_{p-2} \in \mathbb {Z}.
?
Примечание.
?

  1. следуя доказательству теоремы 12 (из §9.5), доказать вначале, что знаменателями рациональных чисел a0,a1,…,ap−2a_0, a_1, \ldots , a_{p-2} могут быть только степени числа pp;

  2. вместо разложения по степеням числа εp\varepsilon_p рассматривать разложение по степеням числа 1−εp1-\varepsilon_p;

  3. доказать, что в кольце целых поля Q(εp)\mathbb {Q}(\varepsilon_p) имеют место следующие ассоциированности: 1−εp∼1−εpk1-\varepsilon_p \sim 1-\varepsilon_p^k (k=1,2,…,p−1k=1,2,\ldots ,p-1), p∼(1−εp)p−1p \sim (1-\varepsilon_p)^{p-1};

  4. доказать, что если какое-либо целое рациональное число делится на 1−εp1-\varepsilon_p, то оно делится на pp.