Конечно порожденные абелевы группы

Параллелепипед $P(e_1,\ldots ,e_n)$, натянутый на какой-либо базис $\{ e_1,\ldots ,e_n\}$ решетки $L \subset E^n$, называется фундаментальным параллелепипедом этой решетки. Доказать, что его объем не зависит от выбора базиса решетки $L$.

Доказать, что подгруппа $L \subset E^n$ дискретна тогда и только тогда, когда ее пересечение с некоторой окрестностью нуля состоит только из нуля.

Доказать, что $u_i = d_i/d_{i-1}$, где $d_i$ --- наибольший общий делитель миноров $i$-го порядка исходной матрицы $C$ ($d_0$ считается равным 1 и $0/0$ считается равным 0).

Доказать, что при $m=n$ индекс $|L:N|$ конечен и равен произведению инвариантных множителей.

Пусть $L$ --- решетка в $E^n$ и $N$ --- ее подрешетка. Доказать, что индекс $|L:N|$ равен отношению объемов фундаментальных параллелепипедов решеток $N$ и $L$.

Доказать, что группа $\mathbb {Z}$ не может быть разложена в прямую сумму двух ненулевых подгрупп.

Найти прообразы элементов $[1]_3 \in \mathbb {Z}_3$ и $[1]_5 \in \mathbb {Z}_5$ при изоморфизме $\varphi : \mathbb {Z}_{15} \to \mathbb {Z}_3 \oplus \mathbb {Z}_5$, построенном как в предложении (о разложении $\mathbb {Z}_n \simeq \mathbb {Z}_{n_1} \oplus \ldots \oplus \mathbb {Z}_{n_s}$ для попарно взаимно простых $n_1,\ldots ,n_s$).

Доказать более сильную версию китайской теоремы об остатках, не предполагающую попарной взаимной простоты чисел $n_1,\ldots ,n_s$: система сравнений $x \equiv m_i \pmod{n_i}$ ($i=1,\ldots ,s$) имеет решение тогда и только тогда, когда $m_i \equiv m_j \pmod{(n_i,n_j)}$ при любых $i,j$.

Доказать, что примарная циклическая группа не может быть разложена в прямую сумму двух ненулевых подгрупп.

Найти какие-нибудь порождающие элементы групп $\mathbb {Z}_7^*$ и $\mathbb {Z}_{41}^*$.

Доказать, что для любого простого $p \neq 2$ группа $\mathbb {Z}_{p^k}^*$ обратимых элементов кольца $\mathbb {Z}_{p^k}$ является циклической.

Доказать, что группа $\mathbb {Z}_{2^k}^*$ обратимых элементов кольца $\mathbb {Z}_{2^k}$ не является циклической при $k > 2$; более точно, $\mathbb {Z}_{2^k}^* = \langle 3 \rangle \times \langle -1 \rangle \cong \mathbb {Z}_{2^{k-2}} \oplus \mathbb {Z}_2$.

Доказать, что многочлен $x^4+1$ приводим над любым конечным полем.