Аффинные и проективные пространства

Какова наименьшая размерность пространства, в котором существуют скрещивающиеся двумерные плоскости?

Определить $\dim \operatorname {aff}(P_1 \cup P_2)$, где $P_1, P_2$ --- плоскости аффинного пространства.

Показать, что на обычной евклидовой плоскости

Аффинная оболочка множества $M \subset S$ есть совокупность всех барицентрических линейных комбинаций точек из $M$. (Предполагается, что поле $K$ содержит более двух элементов.)

Точки $p_0, p_1, \ldots , p_k$ аффинно независимы тогда и только тогда, когда ранг матрицы, составленной из их барицентрических координат, равен $k+1$.

Пусть точки $u, v, w$, лежащие на сторонах $qr, rp, pq$ треугольника $pqr$ или их продолжениях, делят эти стороны в отношениях $\lambda :1$, $\mu :1$, $\nu :1$ соответственно. Используя задачу 7.1.5, доказать теорему Менелая: точки $u, v, w$ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда

Показать, что при переходе к началу отсчета $o' = o + a$ ($a \in V$) вектор $b$ в записи аффинного преобразования $f = t_b\varphi$ ($\varphi \in \mathrm{GL}(V)$, $b \in V$) заменяется на вектор

Доказать, что произведение гомотетий в разных точках с коэффициентами $\lambda$ и $\mu$ при $\lambda \mu \neq 1$ есть гомотетия, а при $\lambda \mu = 1$ --- нетривиальный параллельный перенос.

Доказать, что в вещественной аффинной геометрии все параллелепипеды равны.

Пусть $P_1, P_2, P_1', P_2' \subset S$ --- плоскости с направляющими подпространствами $U_1, U_2, U_1', U_2'$ соответственно. Предположим, что $\dim P_1 = \dim P_1'$, $\dim P_2 = \dim P_2'$, $\dim U_1 \cap U_2 = \dim U_1' \cap U_2'$ и пересечения $P_1 \cap P_2$ и $P_1' \cap P_2'$ пусты или непусты одновременно. Доказать, что тогда существует преобразование $f \in \mathrm{GA}(S)$, переводящее $P_1$ в $P_1'$ и $P_2$ в $P_2'$.

Пусть точки $p_1, p_2, p_3$ лежат на одной прямой $l$. Тогда если $p_2 \neq p_3$, то $\overline{p_1p_3} = c\, \overline{p_3p_2}$, где $c \in K$; число $c$ называется (простым) отношением тройки $p_1, p_2, p_3$ и обозначается через $(p_1, p_2, p_3)$. Выяснить, как изменяется отношение тройки точек при перестановках этих точек. Какое наибольшее и какое наименьшее число различных значений оно может принимать?

Построить треугольник $pqr$ по точкам $u, v, w$ на его сторонах $qr, rp, pq$ (или их продолжениях), делящим их в отношениях $\lambda :1$, $\mu :1$, $\nu :1$ соответственно.

Доказать, что замыкание выпуклого множества выпукло, причем всякая его внутренняя точка является внутренней точкой самого множества.

Найти грани сечения $n$-мерного параллелепипеда $0 \leq x_i \leq 1$ ($i=1,\ldots ,n$) гиперплоскостью $x_1+\ldots +x_n = n/2$.

Найти грани $n$-мерного симплекса.

Доказать, что все грани многогранника $\operatorname {conv}\{ p_1, \ldots , p_k\}$ являются выпуклыми оболочками некоторых из точек $p_1, \ldots , p_k$.

Доказать, что расстояние между плоскостями $P_1 = p_1 + U_1$ и $P_2 = p_2 + U_2$ евклидова аффинного пространства может быть найдено по формуле

Доказать, что группа $\operatorname {Isom} S$ порождается отражениями относительно гиперплоскостей.

Доказать, что плоскость $P$ (ось движения $f$, определяемая условиями: $P$ инвариантна относительно $f$, причем $f|_P$ --- параллельный перенос на вектор $b$, и оператор $\mathscr {A} = df$ не имеет ненулевых неподвижных векторов в $U^\perp$) есть совокупность точек, которые при движении $f$ перемещаются на наименьшее расстояние (равное длине вектора $b$).

Пользуясь доказанным предложением (о существовании и единственности плоскости $P$ движения $f$), указать способ построения центра поворота $s_{p,\alpha }s_{q,\beta }$ из примера 7.4.2 (произведение поворотов плоскости на углы $\alpha$ вокруг $p$ и $\beta$ вокруг $q$).

Перечислить все элементы группы симметрии куба.

Описать группу $\mathrm{O}_{1,1}$.

Сформулировать и доказать «третий признак равенства треугольников» на псевдоевклидовой плоскости.

Доказать, что если $X$ --- параболоид, задаваемый уравнением $u(x_1,\ldots ,x_{n-1}) < x_n$ (в подходящих координатах), то группа $G(X)$ преобразований, отображающих $X$ на себя, транзитивно действует в области $u(x_1,\ldots ,x_{n-1}) < x_n$.

Доказать, что для любого неособого направления параболоида $X$ существует прямая этого направления, которая не пересекает $X$.

Доказать, что не существует атласа проективного пространства $PV$ из меньшего числа карт (чем стандартный атлас из $\dim V$ карт).

Пусть $y_1, \ldots , y_n$ --- неоднородные координаты точки $\hat x \in PV$ на карте $S_0$. Найти ее неоднородные координаты на карте $S_1$.

Доказать, что для всякого проективного преобразования комплексного проективного пространства существует аффинная карта, на которой оно представляется как аффинное преобразование.

Выяснить, что происходит с двойным отношением $(p_1,p_2;p_3,p_4) = \delta$ при перестановках точек $p_1,p_2,p_3,p_4$. Доказать, что выражение

не меняется ни при каких перестановках.

Изучив изображение четырех симметрично расположенных вдоль центральной аллеи квадратных цветников на старинной гравюре, показать, что гравер существенно исказил перспективу.

Доказать, что всякий параболоид в вещественном аффинном пространстве касается бесконечно удаленной гиперплоскости.

Доказать, что если $PX$ --- овальная квадрика, то группа $G(PX)$ проективных преобразований, отображающих $X$ на себя, транзитивно действует на множестве (упорядоченных) троек различных точек из $PX$.

Доказать, что группа $G(PX)$ действует транзитивно на внутренности овальной квадрики $PX$. (Ср. задачу 7.5.1.)