Проективные пространства

Доказать, что не существует атласа проективного пространства $PV$ из меньшего числа карт (чем стандартный атлас из $\dim V$ карт).

Пусть $y_1, \ldots , y_n$ --- неоднородные координаты точки $\hat x \in PV$ на карте $S_0$. Найти ее неоднородные координаты на карте $S_1$.

Доказать, что для всякого проективного преобразования комплексного проективного пространства существует аффинная карта, на которой оно представляется как аффинное преобразование.

Выяснить, что происходит с двойным отношением $(p_1,p_2;p_3,p_4) = \delta$ при перестановках точек $p_1,p_2,p_3,p_4$. Доказать, что выражение

не меняется ни при каких перестановках.

Изучив изображение четырех симметрично расположенных вдоль центральной аллеи квадратных цветников на старинной гравюре, показать, что гравер существенно исказил перспективу.

Доказать, что всякий параболоид в вещественном аффинном пространстве касается бесконечно удаленной гиперплоскости.

Доказать, что если $PX$ --- овальная квадрика, то группа $G(PX)$ проективных преобразований, отображающих $X$ на себя, транзитивно действует на множестве (упорядоченных) троек различных точек из $PX$.

Доказать, что группа $G(PX)$ действует транзитивно на внутренности овальной квадрики $PX$. (Ср. задачу 7.5.1.)