Аффинные отображения

Показать, что при переходе к началу отсчета $o' = o + a$ ($a \in V$) вектор $b$ в записи аффинного преобразования $f = t_b\varphi$ ($\varphi \in \mathrm{GL}(V)$, $b \in V$) заменяется на вектор

Доказать, что произведение гомотетий в разных точках с коэффициентами $\lambda$ и $\mu$ при $\lambda \mu \neq 1$ есть гомотетия, а при $\lambda \mu = 1$ --- нетривиальный параллельный перенос.

Доказать, что в вещественной аффинной геометрии все параллелепипеды равны.

Пусть $P_1, P_2, P_1', P_2' \subset S$ --- плоскости с направляющими подпространствами $U_1, U_2, U_1', U_2'$ соответственно. Предположим, что $\dim P_1 = \dim P_1'$, $\dim P_2 = \dim P_2'$, $\dim U_1 \cap U_2 = \dim U_1' \cap U_2'$ и пересечения $P_1 \cap P_2$ и $P_1' \cap P_2'$ пусты или непусты одновременно. Доказать, что тогда существует преобразование $f \in \mathrm{GA}(S)$, переводящее $P_1$ в $P_1'$ и $P_2$ в $P_2'$.

Пусть точки $p_1, p_2, p_3$ лежат на одной прямой $l$. Тогда если $p_2 \neq p_3$, то $\overline{p_1p_3} = c\, \overline{p_3p_2}$, где $c \in K$; число $c$ называется (простым) отношением тройки $p_1, p_2, p_3$ и обозначается через $(p_1, p_2, p_3)$. Выяснить, как изменяется отношение тройки точек при перестановках этих точек. Какое наибольшее и какое наименьшее число различных значений оно может принимать?

Построить треугольник $pqr$ по точкам $u, v, w$ на его сторонах $qr, rp, pq$ (или их продолжениях), делящим их в отношениях $\lambda :1$, $\mu :1$, $\nu :1$ соответственно.