Евклидовы аффинные пространства

Доказать, что расстояние между плоскостями $P_1 = p_1 + U_1$ и $P_2 = p_2 + U_2$ евклидова аффинного пространства может быть найдено по формуле

Доказать, что группа $\operatorname {Isom} S$ порождается отражениями относительно гиперплоскостей.

Доказать, что плоскость $P$ (ось движения $f$, определяемая условиями: $P$ инвариантна относительно $f$, причем $f|_P$ --- параллельный перенос на вектор $b$, и оператор $\mathscr {A} = df$ не имеет ненулевых неподвижных векторов в $U^\perp$) есть совокупность точек, которые при движении $f$ перемещаются на наименьшее расстояние (равное длине вектора $b$).

Пользуясь доказанным предложением (о существовании и единственности плоскости $P$ движения $f$), указать способ построения центра поворота $s_{p,\alpha }s_{q,\beta }$ из примера 7.4.2 (произведение поворотов плоскости на углы $\alpha$ вокруг $p$ и $\beta$ вокруг $q$).

Перечислить все элементы группы симметрии куба.

Описать группу $\mathrm{O}_{1,1}$.

Сформулировать и доказать «третий признак равенства треугольников» на псевдоевклидовой плоскости.