Начала алгебры многочленов

Так называемая задача интерполяции состоит в нахождении многочлена степени ${}<n$, принимающего в заданных (различных) точках $x_1, x_2, \ldots , x_n \in K$ заданные значения $y_1, y_2, \ldots , y_n \in K$. (В частности, при $n=2$ это называется линейной интерполяцией.) Доказать, что задача интерполяции имеет единственное решение при любых $x_1, x_2, \ldots , x_n$ и $y_1, y_2, \ldots , y_n$.

Пусть $n$ --- простое число. Пользуясь задачей 1.5.2 и последней из формул Виета, доказать теорему Вильсона:

Исследовав производную многочлена $\bar f$, доказать, что многочлен $f$ из предыдущего примера имеет только один отрицательный корень.

Доказать, что кольцо рациональных чисел вида $2^{-n}m$ ($m \in \mathbb {Z}$, $n \in \mathbb {Z}_+$) является евклидовым.

Доказать, что в евклидовом кольце

Наименьшим общим кратным элементов $a$ и $b$ целостного кольца называется их общее кратное (т.е. элемент, делящийся и на $a$, и на $b$), делящее все их общие кратные. Оно обозначается через $[a, b]$ или $\mathrm{HOK}\{ a, b\}$. Доказать, что в евклидовом кольце для любых элементов $a, b$ существует наименьшее общее кратное $[a, b]$, причем

В кольце $\mathbb {Z}^{i}$ (см. пример 5.1) разложить на простые множители числа 2, 3 и 5 и подумать, в чем принципиальная разница между этими тремя случаями.

Перечислить неприводимые многочлены степеней ${}\leq 4$ над полем $\mathbb {Z}_2$ и доказать, что существует ровно 6 неприводимых многочленов степени 5.

Доказать, что размерность пространства однородных многочленов степени $d$ от $n$ переменных равна

(число сочетаний с повторениями из $n$ по $d$).

Доказать, что если поле $K$ содержит $q$ элементов, то функции, определяемые одночленами $x_1^{k_1}\ldots x_n^{k_n}$ с $k_1, \ldots , k_n < q$, составляют базис в пространстве всех функций на $K^n$ со значениями в $K$.

Доказать, что многочлен

является симметрическим.

В обозначениях примера 8.8 (пусть $c_1, c_2, c_3, c_4$ --- корни уравнения $x^4+px^2+qx+r=0$, и $d_1 = c_1c_2+c_3c_4$, $d_2 = c_1c_3+c_2c_4$, $d_3 = c_1c_4+c_2c_3$) доказать, что

Доказать, что если $\varphi$ --- многочлен любой степени с вещественными коэффициентами, не имеющий кратных комплексных корней, то

где $t$ --- число пар комплексно-сопряженных мнимых корней многочлена $\varphi$.

Доказать, что если рациональные дроби $\dfrac {f_1}{g_1}$ и $\dfrac {f_2}{g_2}$ над бесконечным полем $K$ определяют функции, совпадающие в их общей области определения, то $\dfrac {f_1}{g_1} = \dfrac {f_2}{g_2}$.

Доказать, что разложение, о котором идет речь в предложении 3 (разложение правильной рациональной дроби $\dfrac {f}{g}$, $g = p^k$, $p \in K[x]$ неприводим, в сумму дробей со знаменателями $p, p^2, \ldots , p^k$), единственно.

Доказать равенство

где $\varepsilon_0, \varepsilon_1, \ldots , \varepsilon_{n-1}$ --- комплексные корни $n$-й степени из единицы.

Разложить в сумму простейших дробей над полем $\mathbb {Z}_p$ ($p$ простое) дробь $\dfrac {1}{x^p-x}$.