Поле рациональных дробей

Доказать, что если рациональные дроби $\dfrac {f_1}{g_1}$ и $\dfrac {f_2}{g_2}$ над бесконечным полем $K$ определяют функции, совпадающие в их общей области определения, то $\dfrac {f_1}{g_1} = \dfrac {f_2}{g_2}$.

Доказать, что разложение, о котором идет речь в предложении 3 (разложение правильной рациональной дроби $\dfrac {f}{g}$, $g = p^k$, $p \in K[x]$ неприводим, в сумму дробей со знаменателями $p, p^2, \ldots , p^k$), единственно.

Доказать равенство

где $\varepsilon_0, \varepsilon_1, \ldots , \varepsilon_{n-1}$ --- комплексные корни $n$-й степени из единицы.

Разложить в сумму простейших дробей над полем $\mathbb {Z}_p$ ($p$ простое) дробь $\dfrac {1}{x^p-x}$.