Теория делимости в евклидовых кольцах

Доказать, что кольцо рациональных чисел вида $2^{-n}m$ ($m \in \mathbb {Z}$, $n \in \mathbb {Z}_+$) является евклидовым.

Доказать, что в евклидовом кольце

Наименьшим общим кратным элементов $a$ и $b$ целостного кольца называется их общее кратное (т.е. элемент, делящийся и на $a$, и на $b$), делящее все их общие кратные. Оно обозначается через $[a, b]$ или $\mathrm{HOK}\{ a, b\}$. Доказать, что в евклидовом кольце для любых элементов $a, b$ существует наименьшее общее кратное $[a, b]$, причем

В кольце $\mathbb {Z}^{i}$ (см. пример 5.1) разложить на простые множители числа 2, 3 и 5 и подумать, в чем принципиальная разница между этими тремя случаями.

Перечислить неприводимые многочлены степеней ${}\leq 4$ над полем $\mathbb {Z}_2$ и доказать, что существует ровно 6 неприводимых многочленов степени 5.