ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ

Пусть $f: \Omega \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ является $\mathcal{F} / \mathcal{B}^{*}$-измеримой. Пусть $y \in \overline{\mathbb {R}}$, и пусть $h: \Omega \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ таково, что

Тогда $h$ является $\mathcal{F} / \mathfrak {B}^{*}$-измеримой.

Существует непрерывная функция $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ и подмножество $A \subseteq \mathbb {R}$ такие, что $A \in \mathscr {L}$, но $f^{-1}(A) \notin \mathscr {L}$.

Используя обозначения и структуру раздела 4.7 и предыдущего упражнения, имеем $I_{B}=I_{\phi^{-1}(B)} \circ \phi^{-1}$, и $I_{\phi^{-1}(B)}$ является $\mathcal{L} / \mathfrak {B}^{*}$-измеримой, в то время как $I_{B}$ не является $\mathcal{L} / \mathfrak {B}^{*}$-измеримой. Следовательно, $\mathcal{L} / \mathfrak {B}^{*}$-измеримая функция от гомеоморфизма не обязательно является $\mathcal{L} / \mathfrak {B}^{*}$-измеримой.

Лебегово измеримая функция не обязательно является борелевски измеримой.

Пусть $f: \Omega \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ является $\mathcal{F} / \mathcal{B}^{*}$-измеримой.

Если $f: \Omega \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ такова, что $f^{-1}(\left\{ x\right\} ) \in \mathcal{F}$ для каждого $x \in \overline{\mathbb {R}}$, то $f$ не обязательно является $\mathcal{F} / \mathfrak {B}^{*}$-измеримой.

Если $A \subseteq \mathbb {R}$ — интервал любого типа и $f: A \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ монотонна, то $f$ является одновременно борелевски и лебегово измеримой.

Пусть $f: \Omega \rightarrow \overline{\mathbb {R}}^{k}$ задана правилом $f(\omega )=\left(f_{1}(\omega ), \cdots , f_{k}(\omega )\right)$, где $f_{i}: \Omega \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ — функция, $i=1, \cdots , k$. Тогда $f^{-1}(B) \in \mathcal{F}$ для каждого $B \in \mathfrak {B}^{k*}$ тогда и только тогда, когда $f_{i}$ является $\mathcal{F} / \mathfrak {B}^{*}$-измеримой для $i=1, \cdots , k$.

$\mathfrak {B}^{k}$ — минимальное $\sigma$-поле $\mathcal{F}$ на $\mathbb {R}^{k}$ такое, что каждая непрерывная функция $f: \mathbb {R}^{k} \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ является $\mathcal{F} / \mathfrak {B}^{*}$-измеримой.

Пусть $f: \Omega \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ является $\sigma (\mathcal{A}) / \mathfrak {B}^{*}$-измеримой, где $\mathcal{A} \subseteq 2^{\Omega }$. Существует не более чем счётная подсовокупность $\mathcal{A}_{f}$ множества $\mathcal{A}$ такая, что $f$ является $\sigma (\mathcal{A}_{f}) / \mathfrak {B}^{*}$-измеримой.

Пусть $f: \Omega \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$, и предположим, что $\Omega =\bigcup_{n=1}^{\infty } A_{n}$, где $A_{1}, A_{2}, \ldots$ — непересекающиеся $\mathcal{F}$-множества [ $\mathcal{F}$ — $\sigma$-поле на $\Omega$ ]. Пусть $\mathcal{F}_{n}=\left\{ A \in \mathcal{F}: A \subset A_{n}\right\}$ для каждого $n \in \mathbb {N}$. Тогда $\mathcal{F}_{n}$ является $\sigma$-полем для каждого $n \in \mathbb {N}$. Пусть $f_{n}$ обозначает сужение $f$ с $\Omega$ на $A_{n}, n \in \mathbb {N}$. Тогда $f$ является $\mathcal{F} / \mathscr {B}^{*}$-измеримой тогда и только тогда, когда $f_{n}$ является $\mathcal{F}_{n} / \mathscr {B}^{*}$-измеримой для каждого $n \in \mathbb {N}$.

Покажите, что функция $\varphi : \overline{\mathbb {R}} \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$, заданная в примере 4, является $\mathfrak {B}^{*} / \mathfrak {B}^{*}$-измеримой, надлежащим образом применив (MF6).

Пример 4: Определим $\varphi : \overline{\mathbb {R}} \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$, полагая $\varphi (x) = 1/x$ для $x \in \overline{\mathbb {R}} \setminus \left\{ 0\right\}$ и $\varphi (0) = 0$ (напомним соглашение $1/(\pm \infty ) = 0$, так что $\varphi$ определена также и в $\pm \infty$).

(MF6): Пусть $A \in \mathcal{F} - \left\{ \varnothing \right\}$, и пусть $A_{1}, \ldots , A_{n}$ обозначают непустые непересекающиеся $\mathcal{F}$-множества с объединением $\Omega$. Предположим, что $f_{i}: A_{i} \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ является $\mathcal{F} / \mathfrak {B}^{*}$-измеримой для $i = 1, \ldots , n$. Если $f: A \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ такова, что $f(\omega ) = f_{i}(\omega )$ тогда и только тогда, когда $\omega \in A_{i}$, то $f$ является $\mathcal{F} / \mathfrak {B}^{*}$-измеримой. (Это также верно для счётной совокупности $A_{1}, A_{2}, \ldots$ непустых непересекающихся $\mathcal{F}$-множеств с объединением $\Omega$.)

Минимальное $\sigma$-поле $\mathcal{F}$ на $\Omega$ такое, что $f: \Omega \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ является $\mathcal{F} / \mathfrak {B}^{*}$-измеримой, есть $f^{-1}\left(\mathfrak {B}^{*}\right)$.

Слово непрерывная в (MF4) может быть заменено на любое из двух: полунепрерывная снизу и полунепрерывная сверху.

(MF4): Пусть $\Omega = \mathbb {R}^{k}$, и пусть $\mathcal{F}$ обозначает произвольное $\sigma$-поле на $\mathbb {R}^{k}$, содержащее открытые подмножества $\mathbb {R}^{k}$. Тогда для любого непустого $A \in \mathcal{F}$ и всякой непрерывной $f: A \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$, $f$ является $\mathcal{F} / \mathfrak {B}^{*}$-измеримой. (В доказательстве нет ничего специфического для евклидова пространства: $\Omega$ может быть любым метрическим или топологическим пространством, а $\mathcal{F}$ — любым $\sigma$-полем на $\Omega$, содержащим открытые множества.)

Если $f: \Omega \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ является $\mathcal{F} / \mathcal{B}^{*}$-измеримой, то $\left|f\right|$ является $\mathcal{F} / \mathcal{B}^{*}$-измеримой. Однако если $\left|f\right|$ является $\mathcal{F} / \mathscr {B}^{*}$-измеримой, то $f$ не обязательно является $\mathcal{F} / \mathfrak {B}^{*}$-измеримой.

Пусть $n \in \mathbb {N}$, и пусть $f_{1}, \ldots , f_{n}$ обозначают $\mathcal{F} / \mathcal{B}^{*}$-измеримые функции с общей областью определения $A \in \mathscr {F}$.

Пусть ( $\Omega , \mathcal{F}, \mu$ ) обозначает пространство с мерой, и пусть $f: \Omega \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ обозначает $\mathcal{F} / \mathfrak {B}^{*}$-измеримое отображение. Пусть $\nu : \mathfrak {B}^{*} \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ такова, что $\nu (B)= \mu \left(f^{-1}(B)\right)$ для каждого $B \in \mathscr {B}^{*}$. То есть $\nu =\mu \circ f^{-1}$. Тогда ( $\overline{\mathbb {R}}, \mathscr {B}^{*}, \nu$ ) является пространством с мерой. Более того, даже если $\mu$ $\sigma$-конечна, $\nu$ не обязательно $\sigma$-конечна.

Это упражнение касается (MF9).

(MF9): Пусть $y \in \overline{\mathbb {R}}$, пусть $A \in \mathcal{F}$ непусто, и пусть $f: A \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ и $g: A \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ являются $\mathcal{F} / \mathfrak {B}^{*}$-измеримыми. (a) Пусть $h: A \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ такова, что для каждого $\omega \in A$, $h(\omega ) = f(\omega )+g(\omega )$, если $f(\omega )+g(\omega )$ определена, и $h(\omega ) = y$, если $f(\omega )+g(\omega )$ не определена. Тогда $h$ является $\mathcal{F} / \mathfrak {B}^{*}$-измеримой. (b) Пусть $h: A \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ такова, что для каждого $\omega \in A$, $h(\omega ) = f(\omega )-g(\omega )$, если $f(\omega )-g(\omega )$ определена, и $h(\omega ) = y$, если $f(\omega )-g(\omega )$ не определена. Тогда $h$ является $\mathcal{F} / \mathfrak {B}^{*}$-измеримой.

Это упражнение касается (MF10).

(MF10): Пусть $A \in \mathcal{F} - \left\{ \varnothing \right\}$, и пусть $f: A \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ и $g: A \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ обозначают $\mathcal{F} / \mathfrak {B}^{*}$-измеримые функции. Верно следующее: (a) $fg$ является $\mathcal{F} / \mathfrak {B}^{*}$-измеримой. (b) Пусть $y \in \overline{\mathbb {R}}$ и $h: A \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ такова, что для каждого $\omega \in A$, $h(\omega ) = f(\omega )/g(\omega )$, если $\omega \in A$ таково, что $f(\omega )/g(\omega )$ определена, и $h(\omega ) = y$ в противном случае. Тогда $h$ является $\mathcal{F} / \mathfrak {B}^{*}$-измеримой.

Докажите (a)–(e) из (MF13).

Напомним определение положительной и отрицательной частей $f: A \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$: $f^{+}(\omega ) = \max \left\{ f(\omega ), 0\right\}$ и $f^{-}(\omega ) = -\min \left\{ f(\omega ), 0\right\}$ для каждого $\omega \in A$ (так что $f^{+}, f^{-} \geqslant 0$ всюду, не более одной из $f^{+}(\omega ), f^{-}(\omega )$ отлична от нуля для каждого $\omega$, и $f = f^{+}-f^{-}$).

(MF13): Пусть $f: A \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$, $g: A \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ и $h: A \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ произвольны. Тогда $f$ является $\mathcal{F} / \mathfrak {B}^{*}$-измеримой тогда и только тогда, когда и $f^{+}$, и $f^{-}$ являются $\mathcal{F} / \mathfrak {B}^{*}$-измеримыми. Кроме того:

Класс $\mathcal{F} / \mathfrak {B}^{*}$-измеримых функций не обязательно замкнут относительно несчётных супремумов и инфимумов. Следующая схема даёт простую конкретизацию этого утверждения. Пусть $\Omega =\mathbb {R}$ и $\mathcal{F}=\mathcal{B}$.

В (MF15) полнота ( $\Omega , \mathcal{F}, \mu$ ) не является избыточным предположением.

(MF15): Пусть $(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ обозначает полное пространство с мерой, и пусть $A \in \mathcal{F} - \left\{ \varnothing \right\}$. Пусть $\left\{ f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ обозначает последовательность $\mathcal{F} / \mathfrak {B}^{*}$-измеримых функций, каждая из которых определена $\mu$-п.в. на $A$. Предположим, что $f$ определена $\mu$-п.в. на $A$ и что $\lim_{n} f_{n}(\omega ) = f(\omega )$ $\mu$-п.в. на $A$. Тогда $f$ является $\mathcal{F} / \mathfrak {B}^{*}$-измеримой.

Предположим, что $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ — дифференцируемая функция. Тогда $f^{\prime }$ является борелевски измеримой функцией.

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$. Утверждение $f$ непрерывна почти в каждой точке $x \in \mathbb {R}$ не влечёт и не следует из утверждения существует непрерывная $g: \mathbb {R} \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ такая, что $f=g$ $\mu$-п.в. на $\mathbb {R}$.

Обратитесь к (MF18).

(MF18): Пусть $A \in \mathcal{F}$ непусто, и пусть $f: A \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ обозначает неотрицательную $\mathcal{F} / \mathfrak {B}^{*}$-измеримую функцию. Тогда существует неубывающая последовательность $\left\{ s_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ неотрицательных $\mathcal{F} / \mathfrak {B}^{*}$-измеримых и конечнозначных простых функций на $A$ таких, что $s_{n} \rightarrow f$ на $A$.

Рассмотрим пространство с мерой $\left(\mathbb {R}^{k}, \mathscr {L}^{k}, \bar{\lambda }_{k}\right)$. Пусть $f: \mathbb {R}^{k} \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ обозначает лебегово измеримую функцию. Мы покажем, что существует борелевски измеримая функция $g: \mathbb {R}^{k} \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ такая, что $\left|g\right| \leqslant \left|f\right|$ и $f=g$ $\bar{\lambda }_{k}$-п.в.

В упражнении 5.5.2 покажите, что борелевски измеримая функция $g: \mathbb {R}^{k} \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ может быть выбрана так, что $\left|g\right| \geqslant \left|f\right|$ и $f=g$ $\bar{\lambda }_{k}$-п.в.

Пусть $A \in \mathcal{F} - \left\{ \varnothing \right\}$, и пусть $f: A \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ обозначает неотрицательную $\mathcal{F} / \mathfrak {B}^{*}$-измеримую функцию. Тогда существует неубывающая последовательность $\left\{ s_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ неотрицательных $\mathcal{F} / \mathfrak {B}^{*}$-измеримых функций такая, что каждая $s_{n}$ принимает не более чем счётное число значений, все значения конечны, и $s_{n} \rightarrow f$ равномерно.

Этот результат касается единственности.

Предположим, что $f_{n} \xrightarrow {\mu } f$ и $g_{n} \xrightarrow {\mu } g$.

Предположим, что $f_{n} \xrightarrow {\text{ п.в. }} f$ и $g_{n} \xrightarrow {\text{ п.в. }} g$.

Предположим, что для каждого $n \in \mathbb {N}$, $f_{n}=g_{n}$ $\mu$-п.в.

Докажите следующие утверждения, связывающие сходимость по $\mu$-мере со сходимостью $\mu$-п.в.

Предположим, что $\varphi : \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна.

Пусть $\Omega = [0, 1]$, пусть $\mathcal{F} = \left\{ B \subseteq [0,1] : B \in \mathcal{L}\right\}$, и пусть $\mu$ обозначает сужение меры Лебега $\overline{\lambda }$ на $\mathcal{F}$. Пусть $A_{1}=[0,1]$, $A_{2}=[0, \frac{1}{2}]$, $A_{3}=[\frac{1}{2}, 1]$, $A_{4}=[0, \frac{1}{4}]$, $A_{5}=[\frac{1}{4}, \frac{1}{2}]$, $A_{6}=[\frac{1}{2}, \frac{3}{4}]$, $A_{7}=[\frac{3}{4}, 1]$, $A_{8}=[0, \frac{1}{8}]$, и т. д. На $\Omega$ определим $f_{n}=\; \mathbb {1}_{A_{n}}$ для каждого $n \in \mathbb {N}$.

Рассмотрим пространство с мерой $(\mathbb {R}, \mathcal{L}, \overline{\lambda })$, и пусть $f_{n}(\omega )=\; \mathbb {1}_{[n, n+1]}(\omega )$ для каждого $n \in \mathbb {N}$ и $\omega \in \mathbb {R}$.

Если $\mu (\left\{ \omega \in A : \left|f_{n}(\omega )-f(\omega )\right|>\epsilon \text{ для бесконечно многих } n\right\} )=0$ для каждого $\epsilon >0$, то $f_{n} \rightarrow f$ $\mu$-п.в.

Мы предполагали на протяжении всего раздела 5.6, что функции $f, f_{1}, f_{2}, \ldots$ имеют область определения $A$ и конечнозначны. Мы можем обобщить предыдущие определения и рассуждения на случай, когда каждая из $f, f_{1}, f_{2}, \ldots$ определена $\mu$-п.в. на $A$, и каждая из $f, f_{1}, f_{2}, \ldots$ конечна $\mu$-п.в. на $A$. Пусть $B$ обозначает множество $\omega \in A$ таких, что (i) $f(\omega )$ определена и конечна, и (ii) $f_{n}(\omega )$ определена и конечна для каждого $n \in \mathbb {N}$. Тогда

а $A - B$ является счётным объединением $\mu$-нулевых множеств, так что $\mu (A-B)=0$. Мы можем поэтому разложить $A$ на два непересекающихся $\mathcal{F}$-множества $B$ и $A-B$ и рассматривать $g, g_{1}, g_{2}, \ldots$ как $\mathcal{F}/\mathfrak {B}^{*}$-измеримые функции с областью определения $B$ и областью значений, содержащейся в $\mathbb {R}$, где $g, g_{1}, g_{2}, \ldots$ обозначают сужения $f, f_{1}, f_{2}, \ldots$ (соответственно) с их соответствующих областей определения на $B$. Мы говорим, что $f_{n} \rightarrow f$ $\mu$-п.в. на $A$ тогда и только тогда, когда $\mu (\left\{ \omega \in B : g_{n}(\omega ) \not\rightarrow g(\omega )\right\} )=0$, т. е. тогда и только тогда, когда $g_{n} \rightarrow g$ $\mu$-п.в. на $B$; и мы говорим, что $f_{n} \rightarrow f$ по $\mu$-мере на $A$ тогда и только тогда, когда $g_{n} \rightarrow g$ по $\mu$-мере на $B$, т. е. тогда и только тогда, когда для каждых $\epsilon >0$ и $\delta >0$ имеем $\lim_{n} \mu (\left\{ \omega \in B : \left|g_{n}(\omega )-g(\omega )\right|>\delta \right\} )=0$.