Последовательности измеримых функций

[2/100%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

Задача 5.3.1

Докажите (a)–(e) из (MF13).

Напомним определение положительной и отрицательной частей $f: A \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ : $f^{+}(\omega ) = \max \left\{ f(\omega ), 0\right\}$ и $f^{-}(\omega ) = -\min \left\{ f(\omega ), 0\right\}$ для каждого $\omega \in A$ (так что $f^{+}, f^{-} \geqslant 0$ всюду, не более одной из $f^{+}(\omega ), f^{-}(\omega )$ отлична от нуля для каждого $\omega$ , и $f = f^{+}-f^{-}$ ).

(MF13): Пусть $f: A \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ , $g: A \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ и $h: A \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ произвольны. Тогда $f$ является $\mathcal{F} / \mathfrak {B}^{*}$ -измеримой тогда и только тогда, когда и $f^{+}$ , и $f^{-}$ являются $\mathcal{F} / \mathfrak {B}^{*}$ -измеримыми. Кроме того:

(a)

$\left|f\right| = f^{+}+f^{-}$ . В частности, $f \geqslant 0$ тогда и только тогда, когда $f=f^{+}$ и $f^{-}=0$ . Также, $f<0$ тогда и только тогда, когда $f^{-}=-f$ и $f^{+}=0$ .

(b)

Пусть $c \in \mathbb {R}$ . Тогда $(cf)^{+} = cf^{+}$ , если $c \geqslant 0$ , и $-cf^{-}$ , если $c<0$ ; а $(cf)^{-} = cf^{-}$ , если $c \geqslant 0$ , и $-cf^{+}$ , если $c<0$ .

(c)

Не обязательно $(f+g)^{+}=f^{+}+g^{+}$ , и не обязательно $(f+g)^{-}=f^{-}+g^{-}$ , но всегда $0 \leqslant (f+g)^{+} \leqslant f^{+}+g^{+}$ и $0 \leqslant (f+g)^{-} \leqslant f^{-}+g^{-}$ .

(d)

Если $\left|g\right| \leqslant f$ , то $0 \leqslant g^{+}, g^{-} \leqslant f$ .

(e)

Если $f=g-h$ и $g, h \geqslant 0$ , то $f^{+} \leqslant g$ и $f^{-} \leqslant h$ .

Задача 5.3.2

(a)(b)

Класс $\mathcal{F} / \mathfrak {B}^{*}$ -измеримых функций не обязательно замкнут относительно несчётных супремумов и инфимумов. Следующая схема даёт простую конкретизацию этого утверждения. Пусть $\Omega =\mathbb {R}$ и $\mathcal{F}=\mathcal{B}$ .

(a)

Пусть $E$ обозначает неборелевское множество, построенное в разделе 4.5. Обоснуйте, что $E$ не может быть не более чем счётным.

(b)

Для каждого $x \in E$ определим $f_{x}: \mathbb {R} \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ , полагая $f_{x}(\omega )=\; \mathbb {1}_{\left\{ x\right\} }(\omega )$ для каждого $\omega \in \mathbb {R}$ . Тогда $f_{x}$ является $\mathcal{F} / \mathscr {B}^{*}$ -измеримой для каждого $x \in E$ , но $\sup_{x \in E} f_{x}=\; \mathbb {1}_{E}$ , следовательно, $\sup_{x \in E} f_{x}$ не является $\mathcal{F} / \mathscr {B}^{*}$ -измеримой.