Операции над измеримыми функциями

Если $f: \Omega \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ является $\mathcal{F} / \mathcal{B}^{*}$-измеримой, то $\left|f\right|$ является $\mathcal{F} / \mathcal{B}^{*}$-измеримой. Однако если $\left|f\right|$ является $\mathcal{F} / \mathscr {B}^{*}$-измеримой, то $f$ не обязательно является $\mathcal{F} / \mathfrak {B}^{*}$-измеримой.

Пусть $n \in \mathbb {N}$, и пусть $f_{1}, \ldots , f_{n}$ обозначают $\mathcal{F} / \mathcal{B}^{*}$-измеримые функции с общей областью определения $A \in \mathscr {F}$.

Пусть ( $\Omega , \mathcal{F}, \mu$ ) обозначает пространство с мерой, и пусть $f: \Omega \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ обозначает $\mathcal{F} / \mathfrak {B}^{*}$-измеримое отображение. Пусть $\nu : \mathfrak {B}^{*} \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ такова, что $\nu (B)= \mu \left(f^{-1}(B)\right)$ для каждого $B \in \mathscr {B}^{*}$. То есть $\nu =\mu \circ f^{-1}$. Тогда ( $\overline{\mathbb {R}}, \mathscr {B}^{*}, \nu$ ) является пространством с мерой. Более того, даже если $\mu$ $\sigma$-конечна, $\nu$ не обязательно $\sigma$-конечна.

Это упражнение касается (MF9).

(MF9): Пусть $y \in \overline{\mathbb {R}}$, пусть $A \in \mathcal{F}$ непусто, и пусть $f: A \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ и $g: A \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ являются $\mathcal{F} / \mathfrak {B}^{*}$-измеримыми. (a) Пусть $h: A \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ такова, что для каждого $\omega \in A$, $h(\omega ) = f(\omega )+g(\omega )$, если $f(\omega )+g(\omega )$ определена, и $h(\omega ) = y$, если $f(\omega )+g(\omega )$ не определена. Тогда $h$ является $\mathcal{F} / \mathfrak {B}^{*}$-измеримой. (b) Пусть $h: A \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ такова, что для каждого $\omega \in A$, $h(\omega ) = f(\omega )-g(\omega )$, если $f(\omega )-g(\omega )$ определена, и $h(\omega ) = y$, если $f(\omega )-g(\omega )$ не определена. Тогда $h$ является $\mathcal{F} / \mathfrak {B}^{*}$-измеримой.

Это упражнение касается (MF10).

(MF10): Пусть $A \in \mathcal{F} - \left\{ \varnothing \right\}$, и пусть $f: A \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ и $g: A \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ обозначают $\mathcal{F} / \mathfrak {B}^{*}$-измеримые функции. Верно следующее: (a) $fg$ является $\mathcal{F} / \mathfrak {B}^{*}$-измеримой. (b) Пусть $y \in \overline{\mathbb {R}}$ и $h: A \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ такова, что для каждого $\omega \in A$, $h(\omega ) = f(\omega )/g(\omega )$, если $\omega \in A$ таково, что $f(\omega )/g(\omega )$ определена, и $h(\omega ) = y$ в противном случае. Тогда $h$ является $\mathcal{F} / \mathfrak {B}^{*}$-измеримой.